线性表出的相关结论归档

一个向量组可由另一个向量组线性表示的充分必要条件是什么？（C019）

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问题

一个向量组

A = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})

可由另一个向量组

B = (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t})

线性表示（线性表出）的【充分必要条件】是什么？

选项

[A].

r (A) > r (A, B)

[B]. r(A) < r(A,B)

[C].

r (A) = r (A, B)

[D].

r (A) \neq r (A, B)

答案

$r (A) = r (A, B)$

向量组的线性相关性与秩（C019）

问题

若

β_{1}

β_{2}

\dots

β_{t}

可由

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{s}

, 线性表出，则

r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t})

与

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})

之间具有怎样的关系？

选项

[A].

r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t})

=

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})

[B].

r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t})

<

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})

[C].

r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t})

⩾

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})

[D].

r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t})

⩽

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})

答案

$r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t})$ $⩽$ $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})$

由向量的个数判断向量组的线性无关性（C019）

问题

若向量组

β_{1}

β_{2}

\dots

β_{t}

可由

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{s}

线性表示, 且

β_{1}

β_{2}

\dots

β_{t}

线性无关, 则以下关于

t

和

s

大小关系的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

t

>

s

[B].

t

=

s

[C].

t

⩾

s

[D].

t

⩽

s

答案

$t$ $⩽$ $s$

简单记法：无关向量组不能由比它个数少的向量组线性表出

由向量的个数判断向量组的线性相关性（C019）

问题

若向量组

β_{1}

β_{2}

\dots

β_{t}

可由

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{s}

线性表示, 且

t

>

s

, 则以下关于向量组

β_{1}

β_{2}

\dots

β_{t}

的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].

β_{1}

β_{2}

\dots

β_{t}

不存在

[B].

β_{1}

β_{2}

\dots

β_{t}

线性无关

[C].

β_{1}

β_{2}

\dots

β_{t}

线性相关

[D].

β_{1}

β_{2}

\dots

β_{t}

一定是零向量组

答案

$β_{1}$ , $β_{2}$ , $\dots$ , $β_{t}$ 线性相关

简单记法：多的能由少的线性表示, 则多的必线性相关

线性表示的部分与整体的关系（C019）

问题

若

β

可由

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

中的部分向量线性表示，则以下说法中正确的是哪个？

选项

[A].

β

可由

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性表示

[B].

β

可由

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

中的另一部分线性表示

[C].

β

或许可由

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性表示

[D].

β

不可由

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性表示

答案

$β$ 可由 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 整体线性表示

线性相关与线性无关边缘处性质的推论（C019）

问题

已知，

n

个

n

维向量

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{n}

线性无关，则以下关于则任一

n

维向量

α

与向量组

(

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{n}

)

之间关系的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. 任一

n

维向量

α

均可由

(

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{n}

)

线性表示，但表示法不唯一

[B]. 任一

n

维向量

α

均可由

(

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{n}

)

线性表示，且表示法唯一

[C]. 任一

n

维向量

α

不一定可由

(

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{n}

)

线性表示

[D]. 任一

n

维向量

α

均不可由

(

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{n}

)

线性表示

答案

任一 $n$ 维向量 $α$ 均可由 $($ $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{n}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一

线性相关与线性无关边缘处的性质（C019）

问题

已知向量组

(

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{r}

)

线性无关, 而向量组

(

β

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{r}

)

线性相关，则以下关于向量

β

和向量组

(

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{r}

)

之间关系的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].

β

不可由

(

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{r}

)

线性表示

[B].

β

可由

(

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{r}

)

线性表示，但表示法不唯一

[C].

β

可由

(

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{r}

)

线性表示，且表示法唯一

[D].

β

或许可由

(

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{r}

)

线性表示

答案

$β$ 可由 $($ $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{r}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一

向量可由向量组线性表示的充要条件：所形成的矩阵的秩（C019）

问题

以下哪个选项可以说明向量

β

和向量组

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性相关？

选项

[A].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

⩾

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}, β)

[B].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

⩽

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}, β)

[C].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

\neq

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}, β)

[D].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

=

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}, β)

答案

$r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})$ $=$ $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}, β)$

向量可由向量组线性表示的充要条件：非齐次线性方程组的解（C019）

问题

如果非齐次线性方程组

(α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{matrix})

=

β

无解，是否可以说明向量

β

能由向量组

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性表示？

选项

[A]. 能

[B]. 不能

[C]. 不确定

答案

不能

向量 $β$ 能由向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 线性表示
$\Leftrightarrow$
非齐次线性方程组 $(α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{matrix})$ $=$ $β$ 有解

向量可由向量组线性表示的充要条件：系数的存在性（C019）

问题

如果不存在常数

k_{1}

k_{2}

\dots

k_{m}

, 使得

k_{1} α_{1}

+

k_{2} α_{2}

+

\dots

+

k_{m} α_{m}

=

β

成立，是否可以说明向量

β

能由向量组

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性表示？

选项

[A]. 不确定

[B]. 能

[C]. 不能

答案

不能

向量 $β$ 能由向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 线性表示
$\Leftrightarrow$
存在常数 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $\dots$ , $k_{m}$ , 使得 $k_{1} α_{1}$ $+$ $k_{2} α_{2}$ $+$ $\dots$ $+$ $k_{m} α_{m}$ $=$ $β$ 成立

线性相关的向量组的秩（C019）

问题

若向量组

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性相关，则以下关于

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

⩽

m

[B].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

=

m

[C].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

<

m

[D].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

⩾

m

答案

向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 线性相关
$\Leftrightarrow$
$r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})$ $<$ $m$

线性无关的向量组的秩（C019）

问题

若向量组

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性无关，则以下关于

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

⩾

m

[B].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

⩽

m

[C].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

<

m

[D].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

=

m

答案

向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 线性无关
$\Leftrightarrow$
$r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})$ $=$ $m$

向量组秩的定义（C019）

问题

根据定义，向量组的（）被称为向量组的秩？

选项

[A]. 向量组中向量的个数

[B]. 极大无关组中所含向量的维度

[C]. 极大无关组中所含向量的个数

[D]. 向量组中非零向量的个数

答案

向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩。