线性表出的相关结论归档

一个向量组可由另一个向量组线性表示的充分必要条件是什么？（C019）

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问题

一个向量组 $A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s})$ 可由另一个向量组 $B = (\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t})$ 线性表示（线性表出）的【充分必要条件】是什么？

选项

[A]. $r(A) \neq r(A,B)$

[B]. $r(A) > r(A,B)$

[C]. r(A) < r(A,B)

[D]. $r(A) = r(A,B)$

答案

$r(A) = r(A,B)$

向量组的线性相关性与秩（C019）

问题

若 $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$, 线性表出，则 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{\mathrm{t}}\right)$ 与 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{s}}\right)$ 之间具有怎样的关系？

选项

[A]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{\mathrm{t}}\right)$ $=$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{s}}\right)$

[B]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{\mathrm{t}}\right)$ $<$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{s}}\right)$

[C]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{\mathrm{t}}\right)$ $\geqslant$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{s}}\right)$

[D]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{\mathrm{t}}\right)$ $\leqslant$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{s}}\right)$

答案

$\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{\mathrm{t}}\right)$ $\leqslant$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{s}}\right)$

由向量的个数判断向量组的线性无关性（C019）

问题

若向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性表示, 且 $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 线性无关, 则以下关于 $t$ 和 $s$ 大小关系的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $t$ $\geqslant$ $s$

[B]. $t$ $\leqslant$ $s$

[C]. $t$ $>$ $s$

[D]. $t$ $=$ $s$

答案

$t$ $\leqslant$ $s$

简单记法：无关向量组不能由比它个数少的向量组线性表出

由向量的个数判断向量组的线性相关性（C019）

问题

若向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性表示, 且 $t$ $>$ $s$, 则以下关于向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 一定是零向量组

[B]. $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 不存在

[C]. $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 线性无关

[D]. $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 线性相关

答案

$\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 线性相关

简单记法：多的能由少的线性表示, 则多的必线性相关

线性表示的部分与整体的关系（C019）

问题

若 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 中的部分向量线性表示，则以下说法中正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{\beta}$ 或许可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示

[B]. $\boldsymbol{\beta}$ 不可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示

[C]. $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示

[D]. $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 中的另一部分线性表示

答案

$\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 整体线性表示

线性相关与线性无关边缘处性质的推论（C019）

问题

已知，$n$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ 线性无关，则以下关于则任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 与向量组 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 之间关系的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. 任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均不可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示

[B]. 任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示，但表示法不唯一

[C]. 任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一

[D]. 任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 不一定可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示

答案

任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一

线性相关与线性无关边缘处的性质（C019）

问题

已知向量组 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性无关, 而向量组 $($ $\boldsymbol{\beta}$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性相关，则以下关于向量 $\boldsymbol{\beta}$ 和向量组 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 之间关系的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{\beta}$ 或许可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示

[B]. $\boldsymbol{\beta}$ 不可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示

[C]. $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示，但表示法不唯一

[D]. $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一

答案

$\boldsymbol{\beta}$ 可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一

向量可由向量组线性表示的充要条件：所形成的矩阵的秩（C019）

问题

以下哪个选项可以说明向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 和向量组 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{yellow}{\cdots}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性相关？

选项

[A]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\leqslant$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\beta}\right)$

[B]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\neq$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\beta}\right)$

[C]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\beta}\right)$

[D]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\geqslant$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\beta}\right)$

答案

$\mathrm{\textcolor{red}{r}}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $\mathrm{\textcolor{red}{r}}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\textcolor{red}{\beta}}\right)$

向量可由向量组线性表示的充要条件：非齐次线性方程组的解（C019）

问题

如果非齐次线性方程组 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_m\end{array}\right)$ $=$ $\boldsymbol{\beta}$ 无解，是否可以说明向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 能由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示？

选项

[A]. 能

[B]. 不能

[C]. 不确定

答案

不能

向量 $\textcolor{orange}{\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}}$ 能由向量组 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{yellow}{\cdots}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性表示
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
非齐次线性方程组 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_m\end{array}\right)$ $=$ $\boldsymbol{\beta}$ 有解

向量可由向量组线性表示的充要条件：系数的存在性（C019）

问题

如果不存在常数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$, 使得 $\textcolor{cyan}{k_{1}} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{2}} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{m}} \boldsymbol{\alpha}_{m}$ $=$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 成立，是否可以说明向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 能由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示？

选项

[A]. 不确定

[B]. 能

[C]. 不能

答案

不能

向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 能由向量组 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{yellow}{\cdots}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性表示
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
存在常数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$, 使得 $\textcolor{cyan}{k_{1}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{2}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{m}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ $=$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 成立

线性相关的向量组的秩（C019）

问题

若向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性相关，则以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ 的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\geqslant$ $m$

[B]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\leqslant$ $m$

[C]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $m$

[D]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $<$ $m$

答案

向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性相关
$\textcolor{yellow}{\Leftrightarrow}$
$\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ $<$ $\textcolor{red}{m}$

线性无关的向量组的秩（C019）

问题

若向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性无关，则以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ 的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $<$ $m$

[B]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $m$

[C]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\geqslant$ $m$

[D]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\leqslant$ $m$

答案

向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性无关
$\textcolor{yellow}{\Leftrightarrow}$
$\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ $=$ $\textcolor{red}{m}$

向量组秩的定义（C019）

问题

根据定义，向量组的（）被称为向量组的秩？

选项

[A]. 极大无关组中所含向量的个数

[B]. 向量组中非零向量的个数

[C]. 向量组中向量的个数

[D]. 极大无关组中所含向量的维度

答案

向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩。