标签： 高等数学练习题

一、题目

已知积分区域 $A$ $=$ $\{(x,y)\mid x^2+y^2⩾1,x^2+y^2⩽9,x⩽\sqrt{3}y,y⩽\sqrt{3}x\}$.

则：

$${\iint }_D\arctan \frac{y}{x}\mathrm{d}\sigma =?$$

难度评级：

继续阅读“三角函数套进其反三角函数——湮灭为一个变量”

一、题目

已知积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^2=x$ 围成，则：

$${\iint }_D\frac{\sin \pi y}{y}\mathrm{d}\sigma =?$$

难度评级：

继续阅读“解三角函数定积分时经常会用到分部积分法：在 sin 与 cos 之间转换”

一、题目

$$I={\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_y^1\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

本题的计算步骤可以参考 这篇文章 。

继续阅读“当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时，也可以尝试使用极坐标系求解”

一、题目

已知：

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}x{\mathrm{e}}^{-x^2},& x⩾0,\\ \frac{1}{1+\cos x},& -1<x<0,\end{array}$$

则：

$$I={\int }_1^{4}f(x-2)\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“分段求解一重定积分：涉及三角函数和凑微分的一道例题”

一、题目

$$I={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_{x^2}^1\frac{xy}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}y=?$$

难度评级：

继续阅读“换个角度，柳暗花明：交换积分次序”

一、题目

$$I={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{x+y}{x^2+y^2}\mathrm{d}y=?$$

难度评级：

当积分区域不是圆形时也可能可以转到极坐标求解积分，例如 这道题 。

继续阅读“当积分区域出现“圆形”时，就要考虑转换为极坐标系求解”

一、题目

交换如下二重积分的积分次序：

$$I={\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\cos \theta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r=?$$

难度评级：

继续阅读“交换极坐标系下二重积分的积分次序”

一、题目

$$I=$$

$${\int }_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}R}{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y{\int }_0^y{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x+{\int }_{\frac{\sqrt{2}}{2}R}^R{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y{\int }_0^{\sqrt{R^2-y^2}}{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“使用极坐标系简化二重积分的运算：升级版例题”

一、题目

求解二重积分：

$${\int }_0^2\mathrm{d}x{\int }_0^{\sqrt{2x-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}y.$$

难度评级：

继续阅读“使用极坐标系简化二重积分的运算：基础版例题”

一、题目

交换 ${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{x^2}f(x,y)\mathrm{d}y$ $+$ ${\int }_1^3\mathrm{d}x{\int }_0^{\frac{1}{2}(3-x)}f(x,y)\mathrm{d}y$ 的积分次序。

难度评级：

继续阅读“交换二重积分的积分次序：先交为下限，后交为上限”

一、题目

已知 $a>0$, 写出对二重积分 ${\int }_0^a\mathrm{d}y{\int }_0^{\sqrt{ay}}f(x,y)\mathrm{d}x$ $+$ ${\int }_a^{2a}\mathrm{d}y{\int }_0^{2a-y}f(x,y)\mathrm{d}x$ 交换积分次序后的新式子。

难度评级：

继续阅读“对二重积分交换积分次序的一个典型例题”

一、题目

已知，隐函数 $z=z(x,y)>0$ 由方程式 $x^2$ $+$ $y^2$ $+$ $z^2$ $-$ $2x$ $-$ $2y$ $-$ $4z$ $-$ $10$ $=$ $0$ 所确定，则 $z=z(x,y)$ 的极值是多少？

难度评级：

继续阅读“求解二元隐函数的极值”

一、题目

二元函数 $f(x,y)$ $=$ $x^2(2+y^2)$ $+$ $y\ln y$ 的极值为多少？

难度评级：

继续阅读“求解二元显函数的极值”

一、题目

已知函数 $f(x)$ 连续，且 $x^2+y^2+z^2$ $=$ ${\int }_x^{y}f(x+y-t)\mathrm{d}t$ 确定了二元函数 $z$ $=$ $z(x,y)$, 则 $z(\frac{\partial z}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial z}{\partial y})$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“注意！这里有一个很容易被误认为是函数的式子”

一、题目

已知函数 $f(u,v)$ 可微, 另一个函数 $z$ $=$ $z(x,y)$ 由方程 $(x+1)z$ $-$ $y^2$ $=$ $x^{2}f(x-z,y)$ 确定, 则 ${\mathrm{d}z|}_{(0,1)}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“复合函数和隐函数联合求偏导：能代入的值先代入”