一、题目
已知 $a$ 与 $b$ 是两个常数, 且 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}$ $\mathrm{e}^{x}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+a\right)$ $=$ $b$, 则
$$
\begin{cases}
& a = ? \\
& b = ?
\end{cases}
$$
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继续阅读“利用现成的结论快速解题”标签： 高等数学练习题
一个不能用洛必达运算也不能用泰勒公式的无穷小题目
一、题目
已知 $f(x)=1-\cos x$, 则：
$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})(1-\sqrt[4]{\cos x})(1-\sqrt[5]{\cos x})}{f\{ f[f(x)] \}}=?
$$
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继续阅读“一个不能用洛必达运算也不能用泰勒公式的无穷小题目”变限积分被积函数中包含的变量不好处理？先整体代换试试！
一、题目
已知 $f(x)$ 可导, $f(0)=0$, $f^{\prime}(0)=2$, $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} t^{2} f\left(x^{3}-t^{3}\right) \mathrm{d} t$, $g(x)=\frac{x^{7}}{5}$ $+$ $\frac{x^{6}}{6}$, 则 当 $x \rightarrow 0$ 时, $F(x)$ 是 $g(x)$ 的等价无穷小吗？
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继续阅读“变限积分被积函数中包含的变量不好处理？先整体代换试试！”一般规律：大于 1 时越乘越大，小于 1 时越乘越小
一、题目
已知正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{a_{n}} x^{n} \mathrm{~d} x$ $=$ $2$, 则 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ $=$ $?$
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继续阅读“一般规律：大于 1 时越乘越大，小于 1 时越乘越小”当定积分遇上无穷大：先积分再计算无穷大
一、题目
已知：
$$
a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x
$$
则：
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n} = ?
$$
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继续阅读“当定积分遇上无穷大：先积分再计算无穷大”一个看上去很难的积分题：某些隐函数其实是“假”的
当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花？
一、题目
已知 $b>0$ 为常数, $\varphi(x)$ $=$ $\frac{2}{\sqrt{\pi b}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{b}} \mathrm{~d} t$, 并且 $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ $=$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$, 则 $\int_{0}^{+\infty}[1-\varphi(x)] \mathrm{d} x = ?$
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继续阅读“当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花？”求解由无穷限反常积分式子确定的“隐积分”
一、题目
已知 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛, $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $-$ $\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{x}} \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = ?$
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继续阅读“求解由无穷限反常积分式子确定的“隐积分””通过一阶导和二阶导判断一重积分的大致取值范围
一、题目
已知 $\delta>0$, 且在区间 $(-\delta, \delta)$ 内，有：
$$
\begin{cases}
& f^{\prime \prime}(x)>0; \\
& f(0)=0; \\
& f^{\prime}(0)=0
\end{cases}
$$
又有 $I=\int_{-\delta}^{\delta} f(x) \mathrm{d} x$.
则 $I$ 与 $0$ 的关系如何？
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继续阅读“通过一阶导和二阶导判断一重积分的大致取值范围”利用几何意义快速判断一重定积分的性质
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导, 且 $f(x)>0$.
若下面不等式成立：
$$
f(a)(b-a)<\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}
$$
则 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 分别需要满足什么条件？
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继续阅读“利用几何意义快速判断一重定积分的性质”被看成常数的变量在整个积分运算过程中都要按照常数处理：即便该变量的表示形式和真正的变量一致也不行
一、题目
已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)<0$ 其中 $x \in(0,1)$, 则：
当 $0<x<1$ 时，$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $\int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t$ 之间的大小关系如何？
难度评级：
继续阅读“被看成常数的变量在整个积分运算过程中都要按照常数处理：即便该变量的表示形式和真正的变量一致也不行”带绝对值的式子一定要考虑清楚正负
一、题目
已知 $n$ 充分大时 $\left|a_{n}\right| \leq |b_{n}| \leq |c_{n}|$, 且 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} |c_{n}|$. 则以下选项，正确的是哪个？
(A) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left|a_{n}\right|-b_{n}\right)=0$
(B) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – c_{n}\right)=0$
(C) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |a_{n}| – c_{n}\right)=0$
(D) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – a_{n}\right)=0$
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继续阅读“带绝对值的式子一定要考虑清楚正负”指定区间上的一个关键结论：sin x 小于 x，cos x 大于 x
一、题目
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\sin x) \mathrm{d} x$, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos (\cos x) \mathrm{d} x$ 和 $1$ 的大小关系如何？
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继续阅读“指定区间上的一个关键结论：sin x 小于 x，cos x 大于 x”一道没用上变限积分性质的变限积分题目：应用了积分上下限的加减运算、周期函数的定积分性质和三角函数的性质
一、题目
已知：
$$
f(x)=\int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{\cos t}-\mathrm{e}^{-\cos t}\right) \mathrm{d} t.
$$
则 $f(x)$ 和 $f(x+2 \pi)$ 之间是什么关系？
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继续阅读“一道没用上变限积分性质的变限积分题目：应用了积分上下限的加减运算、周期函数的定积分性质和三角函数的性质”计算极限问题时“抓大头”要慎重！
一、题目
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right)=?
$$
难度评级：
继续阅读“计算极限问题时“抓大头”要慎重！”