标签： 高等数学练习题

一、题目

下列反常积分发散的是哪个？

(A) ${\int }_{-1}^1\frac{1}{\sin x}\mathrm{d}x$.

(B) ${\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$.

(C) ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$.

(D) ${\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x{\ln }^{2}x}\mathrm{d}x$.

难度评级：

继续阅读“你能找到下面哪个反常积分是发散的吗”

一、题目

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+16}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+4n^2}})=?$$

难度评级：

继续阅读“含有无穷多项相加的数列极限问题很可能就可以转化为积分问题”

一、题目

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\int }_0^{n\pi }|\sin x|\mathrm{d}x}{(n+1)\pi }=?$$

难度评级：

继续阅读“不是所有的变限积分都要进行求导运算：变限积分也可以是一个周期函数”

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的邻域内可导, 则 $f^{\prime }\left(x_0\right)>0$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域内单调增的 ( )

(A) 充分必要条件

(B) 必要条件但非充分条件

(C) 充分条件但非必要条件

(D) 既非必要也非充分条件

难度评级：

继续阅读“你知道“波浪递增”吗：一点处一阶导是否大于零与该点邻域内函数是否单调增或者单调减无关”

一、题目

下列函数中在 $x=0$ 处不可导的是哪一个？

(A) ${\int }_0^x(|t|+t)dt$

(B) $|x|[x+{\int }_0^{|x|}{e}^{t^2}dt]$

(C) $|\tan x-\sin x|$

(D) $\sin |x|+\cos |x|$

难度评级：

继续阅读“带绝对值的函数不一定不可导：用定义分析是普适的方法”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义，且 $\underset{x\to 0}{lim}\phi (x)=0$, 则 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f[\phi (x)]-f(0)}{\phi (x)}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件吗？

难度评级：

继续阅读“一点处的导数存在指的是该点处的左右导数都存在，但一点处的极限存在只需要一侧存在即是存在”

一、题目

函数 $y=\frac{(x-3{)}^2}{4(x-1)}$ 的单调增区间是（），单调减区间是（），极值是（），凹区间是（），凸区间是（）

难度评级：

继续阅读“一题搞定有关函数图像的几个关键问题：单调区间，凹凸区间，极值点”

一、题目

已知 $y=y(x)$ 是由方程 $2y^3-2y^2+2xy-x^2=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是多少？

难度评级：

继续阅读“题目没问是极大值点还是极小值点的时候也要求解二阶导——因为一阶导等于零的点不一定有极值”

一、题目

曲线 $x={\cos }^{3}t$, $y={\sin }^{3}t$ 在 $t=t_0$ 相应的点曲率最小, 则在该点处的曲率半径为多少？

难度评级：

继续阅读“寻找曲线上最小的曲率半径（曲率的倒数）”

一、题目

已知 $y=y(x)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\ln (1+t^2)\\ y=\arctan t\end{array}$ 确定，则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=?$, $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=?$, $y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=?$

难度评级：

继续阅读“求解参数方程任意一点处的曲率”

一、题目

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\sin x^2-2(1-\cos x)\sin x}{x^4}=?$$

难度评级：

继续阅读“这道题用麦克劳林公式（泰勒公式在 x = 0 处的特殊情况）可以很快求解”

一、题目

已知 $f(x)=x{\mathrm{e}}^x$, 则 $f^{(n)}(x)$ 在 $x$ 等于多少处取什么样的极小值？

难度评级：

继续阅读“n 阶导函数的最小值你会求解吗”

一、题目

曲线 $\{\begin{array}{l}x=\cos t+{\cos }^{2}t\\ y=1+\sin t\end{array}$ 在 $t=\frac{\pi }{4}$ 对应的点处的法线方程为（）

难度评级：

继续阅读“求解参数方程所表示曲线指定点处的法线方程”

一、题目

曲线 $y={\mathrm{e}}^{x^3}$ 过原点的切线是（）

难度评级：

继续阅读“求曲线过某点处的切线：先确定该点是否在曲线上，如果该点不在曲线上，则先求出切点，再求解切线方程”