一、题目
已知 $\cos x-1$ $=$ $x \sin \alpha(x)$, 其中 $|\alpha(x)|<\frac{\pi}{2}$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $\alpha(x)$ 是 ( ).
A. 比 $x$ 高阶的无穷小
C. 与 $x$ 同阶但不等价的无穷小
B. 比 $x$ 低阶的无穷小
D. 与 $x$ 等价的无穷小
标签： 高等数学练习题
无穷小的阶数与无穷小量的系数无关
一、题目
已知，当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时, $\ln ^{\alpha}(1+2 x)$ 和 $(1-\cos x)^{\frac{1}{\alpha}}$ 均是比 $x$ 高阶的无穷小，则 $\alpha$ 的取值范围是多少？
难度评级：
继续阅读“无穷小的阶数与无穷小量的系数无关”连续函数的三点相等定律：连续点及连续点左右两侧的函数值相等
一、题目
已知函数 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0, \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $a b = ?$
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继续阅读“连续函数的三点相等定律：连续点及连续点左右两侧的函数值相等”如果分母等于零的式子存在极限值，则分子也一定等于零
一、题目
已知：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+a x^{2}+b x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=1
$$
则 $a \ = \ ?$, $b \ = \ ?$
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继续阅读“如果分母等于零的式子存在极限值，则分子也一定等于零”函数间断点，要么是无定义的点（分母为零），要么是分段函数的分段点
一、题目
已知函数：
$$
f(x)=\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)(x-2)}
$$
则该函数的第二类间断点的个数为 ( $\quad$ )
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继续阅读“函数间断点，要么是无定义的点（分母为零），要么是分段函数的分段点”这个包含无穷多项的数列可以转换为定积分进行计算吗？
一、题目
已知：
$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+1}+\frac{2^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+n}\right)
\end{aligned}
$$
则：
$$
I \ = \ ?
$$
难度评级：
继续阅读“这个包含无穷多项的数列可以转换为定积分进行计算吗？”这个分子可以首先进行有理化操作吗？
一、题目
已知：
$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{\arctan x}-\mathrm{e}^{\arcsin x}}{x^{3}}
\end{aligned}
$$
则：
$$
I \ = \ ?
$$
难度评级：
继续阅读“这个分子可以首先进行有理化操作吗？”分子是两式相减等于零的极限怎么算？先做分子有理化
一、题目
已知：
$$
\begin{aligned}
I & = \\
& \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\arctan x}}{x-\sin x}
\end{aligned}
$$
则：
$$
I \ = \ ?
$$
难度评级：
继续阅读“分子是两式相减等于零的极限怎么算？先做分子有理化”无穷多项的数列问题常常可以利用定积分的定义转化为定积分
一、题目
已知：
$$
\begin{aligned}
I & = \\
& \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\sqrt{n^{2}-1^{2}}}{n^{2}}+\frac{2+\sqrt{n^{2}-2^{2}}}{n^{2}}+\cdots+\frac{n+\sqrt{n^{2}-n^{2}}}{n^{2}}\right)
\end{aligned}
$$
则：
$$
I \ = \ ?
$$
难度评级：
继续阅读“无穷多项的数列问题常常可以利用定积分的定义转化为定积分”使用 e 抬起运算法的注意事项：分清楚数字 1 和极限 1
一、题目
已知 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x}$ $=$ $\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}}$, 则 $a = ?$
难度评级：
继续阅读“使用 e 抬起运算法的注意事项：分清楚数字 1 和极限 1”等价无穷小公式用不上怎么办：加加减减，恒等变形
一、题目
$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{\sqrt{1-x^{2}}-1} = ?
$$
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继续阅读“等价无穷小公式用不上怎么办：加加减减，恒等变形”怎么判断是否需要交换二重积分得积分次序？
一、题目
$$
I= \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=?
$$
难度评级：
继续阅读“怎么判断是否需要交换二重积分得积分次序？”在这道题目中 y 是 x 的函数吗？
一、题目
已知 $y=x z$，$z=z(x, y)$ 由方程 $\frac{x}{z}$ $=$ $\ln \frac{z}{y}$ 确定, 则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right|_{x=\frac{1}{e}}$ $=$ $?$
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继续阅读“在这道题目中 y 是 x 的函数吗？”复杂幂指函数求导不要用“$\mathrm{e}$ 抬起”，而要用“$\ln$ 落下”
一、题目
$f(x)$ $=$ $x^{x}(1-x)^{1-x}$ 在区间 $x \in (0,1)$ 内的最小值为 ( $\quad$ )
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继续阅读“复杂幂指函数求导不要用“$\mathrm{e}$ 抬起”，而要用“$\ln$ 落下””无穷小量的计算技巧：通过改变次幂的方式提取公倍数
一、题目
已知 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-a}{x-a}=A$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{e^{f(x)}-e^{a}}{\sin (x-a)}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“无穷小量的计算技巧：通过改变次幂的方式提取公倍数”