$f^{\prime}(x_{0})$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $\frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}$
$f^{‘}(x_{0})$ $=$ $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$
若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，$m$ 和 $M$ 分别是该函数在区间 $[a, b]$ 上的最小值和最大值，$m$ $\leqslant$ $c$ $\leqslant$ $M$, 则必存在 $\xi$ $\in$ $[a, b]$, 使 $f(\xi)$ $=$ $c$
若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且 $f(a)$ $\neq$ $f(b)$, $c$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的一个常数，则必存在 $\xi$ $\in$ $(a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $c$.
若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且 $f(a)$ $\times$ $f(b)$ $<$ $0$, 则必存在 $\xi$ $\in$ $(a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $0$.
此外，如果 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上为单调函数，则必存在且唯一存在 $\xi$ $\in$ $(a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $0$.
若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上必有界
若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有最大值和最小值
当 $x$ $\rightarrow$ $x_{0}$ 时，函数值 $f(x_{0})$ 在一个上下有界的范围内反复变化无限多次，则点 $x_{0}$ 就是函数 $f(x)$ 的一个震荡间断点.
Tips: 震荡间断点属于第二类间断点.
$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$
Tips: 无穷间断点属于第二类间断点.
$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $=$ $B$, 其中，$A$ 和 $B$ 都是常数，且 $A$ $\neq$ $B$
Tips: 跳跃间断点属于第一类间断点.
$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$
Tips: 可去间断点属于第一类间断点.
$\color{Red}{>>}$ 间断点左右两侧的极限值至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.
$\color{Red}{>>}$ 即极限 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ 至少有一个不存在，则 $x$ $=$ $x_{0}$ 为函数 $f(x)$ 的第二类间断点.
$\color{Red}{>>}$ 第二类间断点包含【无穷间断点】和【震荡间断点】两种.
$\color{Red}{>>}$ 间断点左右两侧的极限值都存在的间断点为第一类间断点.
$\color{Red}{>>}$ 即极限 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ 都存在，则 $x$ $=$ $x_{0}$ 为函数 $f(x)$ 的第一类间断点.
$\color{Red}{>>}$ 第一类间断点包含【可去间断点】和【跳跃间断点】两种.
$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $f(x_{0})$
Tips: 若函数在一点处的极限值等于该函数在该点处的函数值，则表明该函数在此点处连续.
$\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$
Tips: 对于可以应用洛必达法则的式子，应用洛必达法则（即对原式的分子和分母同时求导）之后并不会改变原式的极限值，因此，可以借助洛必达法则，简化对原式极限值的计算.
