$a^{2}+b^{2} \geqslant 2ab$, $\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$
$\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$
$a^{n} > b^{n}$
$a^{3}-b^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}$
$a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}$
$(a+b)(a-b)$
$a^{2}+b^{2}-2ab$
$a^{2}+b^{2}+2ab$
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{‘} – xy = \frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 满足条件 $y(1) = \sqrt{e}$ 的特解.
$(Ⅰ)$ 求 $y(x)$;
$(Ⅱ)$ 设平面区域 $D = { (x, y) | 1 \leqslant x \leqslant 2, 0 \leqslant y \leqslant y(x) }$, 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积.
继续阅读“2019年考研数二第17题解析：一阶线性微分方程、旋转体的体积”求不定积分：
$$
\int \frac{3x + 6}{(x – 1)^{2} (x^{2} + x + 1)} \mathrm{d} x.
$$
已知函数 $f(x) = \left\{\begin{matrix}
x^{2x}, x > 0\\
xe^{x} + 1, x \leqslant 0,
\end{matrix}\right.$ 求 $f^{‘}(x)$, 并求 $f(x)$ 的极值.
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & a\\
1 & 3 & 0\\
2 & 7 & -a
\end{bmatrix}$ 可经初等列变换化为矩阵 $B = \begin{bmatrix}
1 & a & 2\\
0 & 1 & 1\\
-1 & 1 & 1
\end{bmatrix}$.
$(Ⅰ)$ 求 $a$;
$(Ⅱ)$ 求满足 $AP = B$ 的可逆矩阵 $P$.
继续阅读“2018年考研数二第23题解析：矩阵的秩、非齐次线性方程组、可逆矩阵”设实二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) =$ $(x_{1} – x_{2} + x_{3})^{2} +$ $(x_{2} + x_{3})^{2} +$ $(x_{1} + a x_{3})^{2}$, 其中 $a$ 是参数.
$(Ⅰ)$ 求 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0$ 的解;
$(Ⅱ)$ 求 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 的规范型.
继续阅读“2018年考研数二第22题解析：二次型、齐次线性方程组、二次型的规范型”设数列 ${ x_{n} }$ 满足：$x_{1} > 0$, $x_{n} e^{x_{n+1}} = e^{x_{n}} – 1$ $(n = 1, 2, 3, \cdots)$. 证明 ${ x_{n} }$ 收敛，并求 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$.
继续阅读“2018年考研数二第21题解析：数列极限、数学归纳法、拉格朗日中值定理”已知曲线 $L: y = \frac{4}{9} x^{2}$ $(x \geqslant 0)$, 点 $O(0, 0)$, 点 $A(0, 1)$. 设 $P$ 是 $L$ 上的动点, $S$ 是直线 $OA$ 与直线 $AP$ 及曲线 $L$ 所围图形的面积. 若 $P$ 运动到点 $(3, 4)$ 时沿 $x$ 轴正向的速度是 $4$, 求此时 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率.
继续阅读“2018年考研数二第20题解析：积分、微分、直线方程”