标签： 高等数学练习题

一、题目

曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=2$ 垂直的切线方程是多少？

难度评级：

继续阅读“导数的几何类问题：求解曲线上与指定直线垂直的切线的方程”

一、题目

已知 $y=y(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上二阶可导，且满足方程：

$$(1-x^2)\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a^{2}y=0$$

那么，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数 $y(t)$ 应满足的方程是多少？

难度评级：

继续阅读“用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目”

题目

一、题目

已知函数 $f(x)$ 是以 $3$ 为周期的可导函数且是偶函数，并且 $f^{\prime }(-2)=-1$, 则：

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}=?$$

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将会给出关于本题的两个解法——一个解法是错误的，另一个解法是正确的，并会指明错误的原因。

难度评级：

继续阅读“对于周期函数而言，再细微的差别也不能忽略：无穷小是很小，但不是不存在”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\ln \frac{1–2x}{1+3x}$, 则 $f^{\prime \prime \prime }(0)$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“要求解三次及以上导数时可以尝试使用泰勒公式”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\ln \frac{1–2x}{1+3x}$, 则 $f^{\prime \prime \prime }(0)$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“求解带有 $\ln$ 的题目时一定不要忘记可以化“乘除”为“加减””

一、题目

已知函数 $y=y(x)$ 是由方程 $x^2$ $+$ ${\int }_0^y(2+\sin t^2)\mathrm{d}t$ $=$ $1$ 所确定的一个隐函数，则 $\mathrm{d}y=?$

难度评级：

继续阅读“隐函数结合变限积分的一个简单例题：遇到变限积分一般就要求导”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ ${\int }_0^x\ln (1+\sin t)\mathrm{d}t$, 则 $f^{\prime \prime }(x)$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“一个最基本的变限积分求导题：变上限积分且无需做变量替换”

一、题目

已知函数 $y=f(x)$ 由 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=?$

难度评级：

继续阅读“复合函数求偏导：循环复用，逐渐化简”

一、题目

已知：

$$f(x)=x^2(x+1{)}^2(x+2{)}^2(x+3{)}^2.$$

则 $f^{\prime \prime }(0)=?$

难度评级：

继续阅读“复杂的式子千万不要使用常规方法求解：整体代换，化繁为简”

一、前言

本文通过举例的方式讨论了如下结论：

求导会降阶，积分会升阶。

继续阅读“求导会降阶，积分会升阶”

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+\tan x}–\sqrt{1–\sin x}}{e^x–1}=?$$

难度评级：

继续阅读“两种方法去根号：有理化或等价无穷小”

一、前言

根据荒原之梦网的《高等数学中常用的等价无穷小》这篇文章可知，当 $x\to 0$ 时，有：

$$\{\begin{array}{ll}& (1+x{)}^a\sim ax;\\ & \sin x\sim \arcsin x\sim \tan x\sim \arctan x\sim x.\end{array}$$

其中，$a$ 为常数。

在实际应用中，我们可以将上面的等价无穷小组合起来，形成新的“变体”，在本文中，将给出几个相关的例子。

继续阅读“等价无穷小的组合变体：以 $(1+x{)}^a\sim ax$ 为例”

一、题目

已知 $a,b,c$ 均为非零常数，则：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{a+b{e}^{\frac{1}{x}}}{a–b{e}^{\frac{1}{x}}}\cdot \frac{\sin cx}{|x|}=?$$

难度评级：

继续阅读“遇到关于 e 的函数式一定要注意“正负””

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，且有 $f(1)=1$, 则 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}$ $\ln [2+f(x^{\frac{1}{x}})]$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“巧设特例，秒解题：一定要保证特例符合题意”

一、前言

在本文中，荒原之梦网提供了两道“由一个形式的极限推导另一个形式的极限”的典型题目——

对于这类问题，我们有两种解决思路：

1. 由已知式推导未知式；
2. 由未知式反推已知式。

在本文中，我们将看到对上面这两种思路的应用。

继续阅读“由一个形式的极限推导另一个形式的极限：以两道典型题目为例”