标签： 高等数学练习题

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导且 $f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=3$, 则 $I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]}^{\frac{\frac{1}{n}}{1–\cos \frac{1}{n}}}=?$

难度评级：

原标题：《当函数只说了在一点处可导时，不要使用求导法则进行求导运算：要使用导数的定义对特定的点进行求导》

继续阅读“分子或分母中有极限和数字的加减法时不能直接把极限值代入式子中参与运算——但只有极限没有数字的时候可以代入极限值参与运算”

一、题目

曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=2$ 垂直的切线方程是多少？

难度评级：

继续阅读“导数的几何类问题：求解曲线上与指定直线垂直的切线的方程”

一、题目

已知 $y=y(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上二阶可导，且满足方程：

$$(1-x^2)\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a^{2}y=0$$

那么，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数 $y(t)$ 应满足的方程是多少？

难度评级：

继续阅读“用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目”

题目

一、题目

已知函数 $f(x)$ 是以 $3$ 为周期的可导函数且是偶函数，并且 $f^{\prime }(-2)=-1$, 则：

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}=?$$

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将会给出关于本题的两个解法——一个解法是错误的，另一个解法是正确的，并会指明错误的原因。

难度评级：

继续阅读“对于周期函数而言，再细微的差别也不能忽略：无穷小是很小，但不是不存在”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\ln \frac{1–2x}{1+3x}$, 则 $f^{\prime \prime \prime }(0)$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“要求解三次及以上导数时可以尝试使用泰勒公式”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\ln \frac{1–2x}{1+3x}$, 则 $f^{\prime \prime \prime }(0)$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“求解带有 $\ln$ 的题目时一定不要忘记可以化“乘除”为“加减””

一、题目

已知函数 $y=y(x)$ 是由方程 $x^2$ $+$ ${\int }_0^y(2+\sin t^2)\mathrm{d}t$ $=$ $1$ 所确定的一个隐函数，则 $\mathrm{d}y=?$

难度评级：

继续阅读“隐函数结合变限积分的一个简单例题：遇到变限积分一般就要求导”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ ${\int }_0^x\ln (1+\sin t)\mathrm{d}t$, 则 $f^{\prime \prime }(x)$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“一个最基本的变限积分求导题：变上限积分且无需做变量替换”

一、题目

已知函数 $y=f(x)$ 由 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=?$

难度评级：

继续阅读“复合函数求偏导：循环复用，逐渐化简”

一、题目

已知：

$$f(x)=x^2(x+1{)}^2(x+2{)}^2(x+3{)}^2.$$

则 $f^{\prime \prime }(0)=?$

难度评级：

继续阅读“复杂的式子千万不要使用常规方法求解：整体代换，化繁为简”

一、前言

本文通过举例的方式讨论了如下结论：

求导会降阶，积分会升阶。

继续阅读“求导会降阶，积分会升阶”

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+\tan x}–\sqrt{1–\sin x}}{e^x–1}=?$$

难度评级：

继续阅读“两种方法去根号：有理化或等价无穷小”

一、前言

根据荒原之梦网的《高等数学中常用的等价无穷小》这篇文章可知，当 $x\to 0$ 时，有：

$$\{\begin{array}{ll}& (1+x{)}^a\sim ax;\\ & \sin x\sim \arcsin x\sim \tan x\sim \arctan x\sim x.\end{array}$$

其中，$a$ 为常数。

在实际应用中，我们可以将上面的等价无穷小组合起来，形成新的“变体”，在本文中，将给出几个相关的例子。

继续阅读“等价无穷小的组合变体：以 $(1+x{)}^a\sim ax$ 为例”

一、题目

已知 $a,b,c$ 均为非零常数，则：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{a+b{e}^{\frac{1}{x}}}{a–b{e}^{\frac{1}{x}}}\cdot \frac{\sin cx}{|x|}=?$$

难度评级：

继续阅读“遇到关于 e 的函数式一定要注意“正负””

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，且有 $f(1)=1$, 则 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}$ $\ln [2+f(x^{\frac{1}{x}})]$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“巧设特例，秒解题：一定要保证特例符合题意”