一、题目
求解数列极限：
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“往前走一步，视野大不同：对于三角函数别忘了可以通过加减周期的方式做恒等变形”标签： 高等数学练习题
如何把无穷大量的求和运算变为求极限运算？
一、题目
已知：
$$
x_{n}=\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2(1+2+\cdots+k)}\right)^{n}
$$
则：
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“如何把无穷大量的求和运算变为求极限运算？”不是所有的幂指函数都一定要用 e 抬起进行转换：也可以尝试提取公因式
一、题目
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{x}-(\sin x)^{x}}{x^{2} \arctan x} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“不是所有的幂指函数都一定要用 e 抬起进行转换：也可以尝试提取公因式”不是所有趋于零的极限都可以随便用等价无穷小
一、题目
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}}\left[\int_{2 x-1}^{2 x+1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t-\int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right]=?
$$
难度评级：
继续阅读“不是所有趋于零的极限都可以随便用等价无穷小”取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法
一、题目
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{2 x}}{1+x^{2}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}=?
$$
难度评级：
继续阅读“取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法”不是所有的定积分都必须做积分运算：在有极限的时候也可以尝试夹逼定理
一、题目
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x+3} \mathrm{~d} x=?
$$
难度评级：
继续阅读“不是所有的定积分都必须做积分运算：在有极限的时候也可以尝试夹逼定理”你能写出这个复合函数吗？
一、题目
已知：
$$
f(x) =
\begin{cases}
& x^{3}, & x<-1;\\ & 2-x, & -1 \leqslant x \leqslant 0;\\ & 2+x, & x>0
\end{cases}
$$
且：
$$
g(x) =
\begin{cases}
& x^{2}, & x<0; \\
& -x, & x \geqslant 0.
\end{cases}
$$
则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} f[g(x)] = ?$
难度评级：
继续阅读“你能写出这个复合函数吗？”这有一个“眼花缭乱”的题：做的时候千万不要乱！
一、题目
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[4]{1-\sqrt[3]{1-\sqrt{1-x}}}-1}{(1+x)^{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}-1}=?
$$
难度评级：
继续阅读“这有一个“眼花缭乱”的题：做的时候千万不要乱！”不趋于零的怎么求？凑成零！
集火攻击：多种方法解一道题
一、题目
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(3+\sin x^{2}\right)^{x}-3^{\sin x}}{x^{3}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“集火攻击：多种方法解一道题”有根号又有平方的累次积分怎么求解？用极坐标系试一试吧！
一、题目
$$
I=\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{-x} \frac{\mathrm{d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}=?
$$
难度评级：
继续阅读“有根号又有平方的累次积分怎么求解？用极坐标系试一试吧！”计算累次积分的核心：分离两个变量，在两个不同的积分中分别计算
一、题目
$$
\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{x}}^{2} y \mathrm{e}^{x y} \mathrm{~d} y = ?
$$
难度评级：
继续阅读“计算累次积分的核心：分离两个变量，在两个不同的积分中分别计算”“无穷”的“心思”不能靠“有穷”来猜
一、题目
$\int_{-\infty}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 的敛散性如何？
难度评级：
继续阅读““无穷”的“心思”不能靠“有穷”来猜”曲线与坐标轴所围成的面积不一定就等于对应区间上积分的值
一、题目
曲线 $y=x^{2} \sin x$ $(0 \leqslant x \leqslant 2 \pi)$ 与 $X$ 轴所围成区域的面积 $S$ 的表达式是什么？
难度评级：
继续阅读“曲线与坐标轴所围成的面积不一定就等于对应区间上积分的值”利用现成的结论快速解题
一、题目
已知 $a$ 与 $b$ 是两个常数, 且 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}$ $\mathrm{e}^{x}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+a\right)$ $=$ $b$, 则
$$
\begin{cases}
& a = ? \\
& b = ?
\end{cases}
$$
难度评级：
继续阅读“利用现成的结论快速解题”