一、题目
已知函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $\lim \limits_{(x . y) \rightarrow(0.0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ $=$ $-2$, 则函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的导数和极值情况如何？
难度评级：
继续阅读“判断二元函数的极值”标签： 高等数学练习题
借助积分运算，通过全微分方程求解原函数
一、题目
已知：
$$
\mathrm{d} f(x, y)=\left(2 y^{2}+2 x y+3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(4 x y+x^{2}\right) \mathrm{d} y
$$
则：
$$
f(x, y) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“借助积分运算，通过全微分方程求解原函数”在不进行积分运算的情况下，通过偏微分方程求解原函数
一、题目
已知函数 $z$ $=$ $\sqrt{x^{2}+y^{2}} f\left(\frac{y}{x}\right)$, 且 $f(u)$ 可导, 若有：
$$
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2 y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
$$
则：
$$
f(1) = ?
$$
$$
f^{\prime}(1) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“在不进行积分运算的情况下，通过偏微分方程求解原函数”做了这道题你会对全微分有更深入的理解
一、题目
已知函数 $f(x, y)$ 可微，且 $f[x+1, \ln (1+x)]$ $=$ $(1+x)^{3}+x \ln (1+x)(x+1)^{\ln (x+1)}$, $f\left(x^{2}, x-1\right)$ $=$ $x^{4} \mathrm{e}^{x-1}+(x-1)\left(x^{2}-1\right) x^{2(x-1)}$.
则：
$$
\mathrm{d} f(1,0) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“做了这道题你会对全微分有更深入的理解”二重积分中经常使用转变积分区域的形式去根号
一、题目
已知积分区域 $D$ $=$ $\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1 \}$
则：
$$
I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y = ?
$$
难度评级：
继续阅读“二重积分中经常使用转变积分区域的形式去根号”利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性化简积分运算
一、题目
已知积分区域 $D$ $=$ $\left\{(x, y) \Big| | x|\leqslant 1, \quad |y| \leqslant 1, \quad \mathrm{~d} x^{2}+y^{2} \geqslant x\right \}$, 则：
$$
\iint_{D}|x y| \mathrm{d} \sigma = ?
$$
难度评级：
继续阅读“利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性化简积分运算”当被积函数含有 e 时考虑凑微分，做了变量替换不要忘记更新积分上下限
一、题目
已知，积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$, 直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成的，则：
$$
I = \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y = ?
$$
三角函数套进其反三角函数——湮灭为一个变量
一、题目
已知积分区域 $A$ $=$ $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 9, x \leqslant \sqrt{3} y, y \leqslant \sqrt{3} x\right \}$.
则：
$$
\iint_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma = ?
$$
难度评级：
继续阅读“三角函数套进其反三角函数——湮灭为一个变量”解三角函数定积分时经常会用到分部积分法：在 sin 与 cos 之间转换
一、题目
已知积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则：
$$
\iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma = ?
$$
难度评级：
继续阅读“解三角函数定积分时经常会用到分部积分法：在 sin 与 cos 之间转换”当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时，也可以尝试使用极坐标系求解
一、题目
$$
I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
本题的计算步骤可以参考 这篇文章 。
继续阅读“当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时，也可以尝试使用极坐标系求解”分段求解一重定积分：涉及三角函数和凑微分的一道例题
一、题目
已知：
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0, \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1<x<0,\end{array}\right.
$$
则：
$$
I = \int_{1}^{4} f(x-2) \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“分段求解一重定积分：涉及三角函数和凑微分的一道例题”换个角度，柳暗花明：交换积分次序
一、题目
$$
I = \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y = ?
$$
难度评级：
继续阅读“换个角度，柳暗花明：交换积分次序”当积分区域出现“圆形”时，就要考虑转换为极坐标系求解
一、题目
$$
I = \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y = ?
$$
难度评级：
继续阅读“当积分区域出现“圆形”时，就要考虑转换为极坐标系求解”当积分区域不是圆形时也可能可以转到极坐标求解积分，例如 这道题 。
交换极坐标系下二重积分的积分次序
一、题目
交换如下二重积分的积分次序：
$$
I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r = ?
$$
难度评级：
继续阅读“交换极坐标系下二重积分的积分次序”使用极坐标系简化二重积分的运算：升级版例题
一、题目
$$
I=
$$
$$
\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“使用极坐标系简化二重积分的运算：升级版例题”