标签： 高等数学基础

问题

下列哪一项是 [特殊的单叶双曲面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

[B].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $+$ $\frac{z^2}{b^2}$ $=$ $1$

[C].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $-$ $\frac{z^2}{b^2}$ $=$ $0$

[D].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $-$ $\frac{z^2}{b^2}$ $=$ $1$

   答 案   

$\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $-$ $\frac{z^2}{b^2}$ $=$ $1$

问题

下列哪一项是 [圆抛物面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $0$

[B].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $+$ $z$ $=$ $0$

[C].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $-$ $z$ $=$ $1$

[D].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $-$ $z$ $=$ $0$

   答 案   

$\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $-$ $z$ $=$ $0$

问题

下列哪一项是 [球面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $+$ $\frac{z^2}{a^2}$ $=$ $1$

[B].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $+$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

[C].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $+$ $\frac{z^2}{a^2}$ $=$ $-1$

[D].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $+$ $\frac{z^2}{a^2}$ $=$ $0$

   答 案   

$\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $+$ $\frac{z^2}{a^2}$ $=$ $1$

问题

下列哪一项是 [类球面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $+$ $\frac{z^2}{b^2}$ $=$ $1$

[B].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $+$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

[C].   $\frac{x^2}{a^2}$ $-$ $\frac{y^2}{a^2}$ $-$ $\frac{z^2}{b^2}$ $=$ $1$

[D].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $-$ $\frac{z^2}{b^2}$ $=$ $0$

   答 案   

$\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $+$ $\frac{z^2}{b^2}$ $=$ $1$

问题

下列哪一项是 [双叶双曲面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $+$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $-1$

[B].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $0$

[C].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $-$ $\frac{a^2}{c^2}$ $=$ $-1$

[D].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

   答 案   

$\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $-1$

问题

下列哪一项是 [单叶双曲面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $+$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

[B].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $0$

[C].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

[D].   $\frac{x^2}{a^2}$ $-$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

   答 案   

$\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

问题

下列哪一项是 [双曲抛物面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A].   $\frac{x^2}{a^2}$ $-$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $z$ $=$ $0$

[B].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $z$ $=$ $0$

[C].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $+$ $z$ $=$ $0$

[D].   $\frac{x^2}{a^2}$ $-$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $z$ $=$ $1$

   答 案   

$\frac{x^2}{a^2}$ $-$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $z$ $=$ $0$

问题

下列哪一项是 [椭圆抛物面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $z$ $=$ $1$

[B].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $z$ $=$ $0$

[C].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $-$ $z$ $=$ $0$

[D].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $+$ $z$ $=$ $0$

   答 案   

$\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $z$ $=$ $0$

问题

下列哪一项是 [椭球面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A].   $\frac{x^2}{a^2}$ $-$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

[B].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $+$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $0$

[C].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $+$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

[D].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{a^2}$ $+$ $\frac{z^2}{a^2}$ $=$ $1$

   答 案   

$\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $+$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

问题

下列哪一项是 [双曲柱面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $=$ $1$

[B].   $\frac{x^2}{a^2}$ $-$ $\frac{y^2}{b^2}$ $=$ $0$

[C].   $\frac{x^2}{a^2}$ $-$ $\frac{y^2}{b^2}$ $=$ $1$

[D].   $\frac{x^2}{a^2}$ $-$ $\frac{y^2}{a^2}$ $=$ $1$

   答 案   

$\frac{x^2}{a^2}$ $-$ $\frac{y^2}{b^2}$ $=$ $1$

问题

下列哪一项是 [抛物柱面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A].   $x^2$ $-$ $2ay$ $=$ $0$

[B].   $x^2$ $+$ $2ay$ $=$ $1$

[C].   $x^2$ $+$ $2ay$ $=$ $0$

[D].   $x^2$ $+$ $2a{y}^2$ $=$ $0$

   答 案   

$x^2$ $+$ $2ay$ $=$ $0$

问题

下列哪一项是 [椭圆柱面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A].   $\frac{x^2}{a}$ $+$ $\frac{y^2}{b}$ $=$ $1$

[B].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $=$ $0$

[C].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $=$ $1$

[D].   $\frac{x^2}{a^2}$ $-$ $\frac{y^2}{a^2}$ $=$ $1$

   答 案   

$\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $=$ $1$

问题

下列哪一项是 [椭圆锥面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A].   $\frac{x^2}{c^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{a^2}$ $=$ $0$

[B].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $+$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $0$

[C].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

[D].   $\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $0$

   答 案   

$\frac{x^2}{a^2}$ $+$ $\frac{y^2}{b^2}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $0$

问题

若 $L$ 是平面 $xOy$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\{\begin{array}{l}f(x,y)=0\\ z=0\end{array}$.

那么，曲线 $L$ 绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A].   $f(x^2+z^2,y)$ $=$ $0$

[B].   $f(\sqrt{x^2+y^2},z)$ $=$ $0$

[C].   $f(\sqrt{x^2+z^2},y)$ $=$ $1$

[D].   $f(\sqrt{x^2+z^2},y)$ $=$ $0$

   答 案   

$f(\pm \sqrt{x^2+z^2},y)$ $=$ $0$

在应用时，用 $\pm$ $\sqrt{x^2+z^2}$ 去代替曲线方程 $f(x,y)$ $=$ $0$ 中的 $x$ 即可.

旋转曲面的面积公式：

问题

若 $L$ 是平面 $xOy$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\{\begin{array}{l}f(x,y)=0\\ z=0\end{array}$.

那么，曲线 $L$ 绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A].   $f(x,\pm \sqrt{y+z})$ $=$ $0$

[B].   $f(\pm \sqrt{y^2+z^2},y)$ $=$ $0$

[C].   $f(x,\pm \sqrt{y^2+z^2})$ $=$ $1$

[D].   $f(x,\pm \sqrt{y^2+z^2})$ $=$ $0$

   答 案   

$f(x,\pm \sqrt{y^2+z^2})$ $=$ $0$

在应用时，用 $\pm$ $\sqrt{y^2+z^2}$ 去代替曲线方程 $f(x,y)$ $=$ $0$ 中的 $y$ 即可.

旋转曲面的面积公式：