对原式等号两端的表达式做 $n$ 次积分即可
$\mathrm{e}^{\alpha x}$ $[$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\cos \beta x$ $+$ $($ $D_{1}$ $+$ $D_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $D_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\sin \beta x$ $]$
$($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$
$y$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{n} x}$
则，关于该方程对应的特征方程的一般形式，以下选项中正确的是哪个？
$\lambda^{n}$ $+$ $p_{1}$ $\lambda^{n-1}$ $+$ $p_{2}$ $\lambda^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $+$ $p_{n}$ $=$ $0$
$y^{(n)}$ $+$ $p_{1}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n}$ $y$ $=$ $0$
$x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$
$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.
则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\sin \beta x$ 或 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\cos \beta x$ 且 $a$ 不是特征根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$
$y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$
当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 是特征根，$k$ $=$ $1$.
其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式，$Q_{n}(x)$, $W_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.
$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.
则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\sin \beta x$ 或 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\cos \beta x$ 且 当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$
$y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$
当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根，$k$ $=$ $0$.
其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式，$Q_{n}(x)$, $W_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.
$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.
则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$ 且 $a$ 是特征方程的重根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$
$y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$
其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$R_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.
$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.
则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$ 且 $a$ 是特征方程的单根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$
$y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$
其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$R_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.
$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.
则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$ 且 $a$ 不是特征根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$
$y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$
其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$R_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.
$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.
又已知：
1. 该方程对应的齐次方程的通解为 $Y(x)$;
2. 用待定系数法求出的该非齐次方程的特解为 $y^{*}(x)$.
则，该非齐次方程的通解为多少？
$Y(x)$ $+$ $y^{*}(x)$
$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.
其中，$p$, $q$ 均为常数.
对应的特征方程为：
$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.
则，当上述特征方程的根 $\lambda$ $=$ $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ (复根) 时，该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$
$y(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $\cos \beta x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta x$ $)$
