考研数学二归档 - 第7页共141页 - 荒原之梦

对等式等号两边同时做操作的时候要注意“对等原则”

一、前言

在做题的时候，我们可能需要借助同时在等式的等号两边做某种操作的方式对原式进行变形处理，例如对等号两边同时取对数、同时求导、同时取倒数、同时乘以或者除以某个量等。

但是，在做这些操作的时候，我们必须要注意“对等原则”。所谓“对等原则”，就是等号两边无论各自有多少组成部分，都要以等号为界，分为两个整体，做任何操作，都要以这两个整体为基本单位进行。

接下来，「荒原之梦考研数学」将通过一些实际的例子，给同学们讲清楚这个计算过程中的易错点。

Note

换句话说，所谓“对等原则”要解决的问题就是：对等式两边取对数，是对整体“取”，还是各项“取”？
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关于 $y$ $=$ $x$ 对称的二元函数的二阶偏导数也关于 $y$ $=$ $x$ 对称

一、题目

荒原之梦考研数学

计算下面函数的二阶偏导数 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ 和 $\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ :

$\begin{aligned} ⟬ A ⟭ . z (x, y) = & x^{2} + y^{2} - 3 x^{4} y^{4} \\ ⟬ B ⟭ . z (x, y) = & \frac{x^{2} + y^{2}}{x y} \end{aligned}$

难度评级：

对一般的对数函数求导的时候，通常可以先转为自然对数

一、题目

荒原之梦考研数学

已知：

$y = \log_{5} (\frac{x}{1 - x})$

则：

$\frac{d y}{d x} = ?$

Tip

$y$ $=$ $\log_{5} (\frac{x}{1 - x})$ $\Leftrightarrow$ $y$ $=$ $\log_{5}^{\frac{x}{1 - x}}$
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难度评级：

考研数学常用积分之：含有 $a x$ $+$ $b$ 的积分

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们总结整理被积函数中含有 “ $a x$ $+$ $b$ ” 以及相关变形形式的积分，这些不是基础的积分公式，也不是一般的习题，但可以作为同学们对积分解题方法的积累。

求导去积分符号，积分去求导符号

一、题目

已知 $f (x)$ 为连续函数，且 $f (x)$ $=$ $\int_{0}^{x} e^{- f (t)} d t$ , 则当 $n$ $⩾$ $2$ 时：

$f^{(n)} (0) = ?$

难度评级：

考研数学常用的泰勒公式（麦克劳林公式）汇总

一、前言

泰勒公式有很多用处，例如求解函数的 $n$ 阶导。如果大家想要掌握泰勒展开式的整体计算公式，可以查阅「荒原之梦考研数学」的《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》这篇文章。在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们提供考研数学中常见的一些在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的泰勒展开式，或者说常见的麦克劳林公式。

非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $η_{1}$ , $η_{2}$ , $η_{3}$ 均是 $A x$ $=$ $b$ 的解，若 $k_{1} η_{1}$ $+$ $k_{2} η_{2}$ $+$ $k_{3} η_{3}$ 也是 $A x$ $=$ $b$ 的解，则 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ 应满足：

[A]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $1$

[B]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $3$

[C]. $k_{1}$ $\times$ $k_{2}$ $\times$ $k_{3}$ $=$ $1$

[D]. $k_{1}$ $=$ $1$ 且 $k_{2}$ $=$ $1$ 且 $k_{3}$ $=$ $1$

难度评级：

不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $A$ 是 $n$ 阶方阵， $r (A)$ $=$ $n - 1$ , $α_{1}$ , $α_{2}$ 是齐次线性方程组 $A x$ $=$ $0$ 的两个不同的解， $k$ 是任意常数，则以下哪个选项一定是 $A x$ $=$ $0$ 的通解？

[A]. $k α_{1}$

[B]. $k α_{2}$

[C]. $k (α_{1}$ $+$ $α_{2})$

[D]. $k (α_{1}$ $-$ $α_{2})$

难度评级：

利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C

一、题目

荒原之梦考研数学

已知：

$A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]$

$B = [\begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]$

求可逆矩阵 $C$ , 使得下式成立：

$C^{⊤} A C = B$

难度评级：

对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵

一、前言

关于主对角线对称的矩阵，特别是单位矩阵具有很多的神奇的性质，在「荒原之梦考研数学」的《单位矩阵可以用来记录初等变换》一文中，我们学习了单位矩阵在“存储”和“写入”矩阵初等行变换和初等列变换上的能力。

在本文中，我们将学习单位矩阵和一般的对称矩阵在“对称初等变换”条件下自动生成其转置矩阵的特殊性质。

对称初等变换示意图

单位矩阵可以用来记录初等变换

一、前言

线性代数中的“单位矩阵（ $E$ ）”是一个非常特别的矩阵，这个矩阵非常简单，以至于可以用来记录初等变换的过程。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下单位矩阵的这一作用。

线性代数中的 E12, E23 表示什么意思？

一、前言

在线性代数中，我们会遇到关于单位矩阵 $E$ 的如下写法：

$\begin{array}{r} E_{12} E_{23} E_{31} \dots \end{array}$

那么，上面这种写法表示什么意思呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下。

通过坐标变换联系起来的两个二次型的系数矩阵互为合同矩阵

一、前言

如果两个二次型之间可以通过坐标变换相互转化，那么这两个二次型的系数矩阵之间具有什么关系呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一问题。

自然常数 e 的那些事

自然常数 e 的那些事 | 荒原之梦考研数学 | 图 01.
原始文件作者：Cronholm144, 原始文件授权协议：知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议。 — 图 01. 图中绿色部分的面积刚好是 $e$ , 因为，当 $x = e$ 的时候， $\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$ $=$ $1.$

这道题目看似很简单，但全身都是“坑”

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 连续，且：

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x) + x f (x)}{x^{2}} = 3$

则：

$lim_{x \to 0} \frac{2 + f (x)}{x} = ?$

难度评级：