标签： 考研数学二

一、前言

对函数的自变量加上、减去、乘以、除以一个数字可以对函数图像产生影响，在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示和口诀的方式让同学们能够直观地理解这种影响，进而在学习和解题的过程中加以应用。

继续阅读“加减乘除运算对函数图象形状的影响”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解考研高等数学以及概率论和数理统计课程中常用的伽马函数。

继续阅读“伽马函数（欧拉第二积分/Gamma Function）详解”

一、前言

在考研数学的题目中，我们有时候可能会见到下面这样的式子，那么，下面式子中的 $\exp$ 是什么意思呢？

$$\exp (x)$$

继续阅读“考研数学中的 $\exp$ 是什么意思？”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导, $\left\{{\alpha }_n\right\}$ 与 $\left\{{\beta }_n\right\}$ 是两个趋于 0 的正数列, 请求解下面的极限：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x_0+{\alpha }_n)–f\left(x_0–{\beta }_n\right)}{{\alpha }_n+{\beta }_n}$$

难度评级：

继续阅读“没说邻域内可导不能用洛必达法则”

一、前言

我们知道，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义（不需要一定在该邻域内可导），且函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x_0)\\ \\ & =\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)–f(x_0)}{x–x_0}\\ \\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}\end{array}$$

上面的公式也被称作函数在一点处导数的定义式。

但事实上，上面式子中的等号严格的来说是不成立的，且在有些时候，我们不能直接使用上面的式子完成解题。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助极限与无穷小的关系，对上面的式子进行完善，以形成一个比较完备的一点处导数的定义式。

继续阅读“借助极限与无穷小的关系，对一点处导数的定义式进行完善”

一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\left[{(1+\frac{1}{n})}^n–\mathrm{e}\right]=?$$

难度评级：

继续阅读“证明无限趋于并不是等于的方法：放大无穷多倍”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们介绍一下考研数学中很常用的“Heine 定理”。

继续阅读“连接函数极限与数列极限的桥梁：Heine 定理”

一、前言

我们知道，一般情况下，积分会导致函数的奇偶性发生改变。例如，在下面的式子中，一般情况下，如果函数 $f(x)$ 是奇函数，则 $F(x)$ 就是偶函数；如果函数 $f(x)$ 是偶函数，则 $F(x)$ 就是奇函数：

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

但是，如果我们要分析的是下面这个式子，则函数 $f(x)$ 的奇偶性会对函数 $F(x)$ 的奇偶性产生什么样的影响呢？

$$F(x)={\int }_0^{x}g(x)\cdot f(t)\mathrm{d}t$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过详细的计算，给同学们讲明白这个问题。

继续阅读“关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式”

一、题目

已知 $u$ $=$ $\frac{x+y}{2}$, $v$ $=$ $\frac{x-y}{2}$, $w$ $=$ $z{\mathrm{e}}^y$, 取 $u$, $v$ 为新自变量，$w$ $=$ $w(u,v)$ 为新函数，请将下面的方程变换为以 $u$ 和 $v$ 为自变量的表示形式：

$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}+\frac{\partial z}{\partial x}=z$$

难度评级：

继续阅读“复合函数求偏导的两种理解方式”

一、前言

下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式：

$$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$$

在本文中，荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。

继续阅读“关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且：

$$f(1)=k{\int }_0^{\frac{1}{k}}x{\mathrm{e}}^{1-x}f(x)\mathrm{d}x$$

其中常数 $k>1$.

请证明存在 $\xi \in (0,1)$, 使得下式成立：

$$f^{\prime }(\xi )=(1-\frac{1}{\xi })\cdot f(\xi )$$

难度评级：

继续阅读“计算含有“表述环路”的式子，首先需要“打破环路””

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime }(x)$ $=$ $f(n-x)$, $f(0)$ $=$ $1$, 则：

$$f(x)=?$$

难度评级：

继续阅读“导数等于原函数的“平移”：这样的函数一般都由三角函数构成”