标签： 考研数学二

题目

设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\frac{1}{3}}$, 直线 $x=a$ $(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，$V_{x}$, $V_{y}$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴，$y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 $V_{y} = 10V_{x}$, 求 $a$ 的值。

继续阅读“2013年考研数二第16题解析：计算旋转体的体积”

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，$1-\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x$ 与 $ax^{n}$ 为等价无穷小，求 $n$ 与 $a$ 的值。

继续阅读“2013年考研数二第15题解析：等价无穷小”

题目

$(Ⅰ)$ 证明方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ $(n>1 且为整数)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根；

$(Ⅱ)$ 记 $(Ⅰ)$ 中的实根为 $x_{n}$, 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。

继续阅读“2012年考研数二第21题解析：数列、零点定理、极限”

题目

证明：

$$
x \ln \frac{1+x}{1-x} + \cos x \geqslant 1 + \frac{x^{2}}{2}.
$$

其中：

$$
-1 < x < 1.
$$

继续阅读“2012年考研数二第20题解析：求导、单调性、最值点、拐点”

题目

曲线 $y = \int_{0}^{x}\tan t d t(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4})$ 的弧长 $s = ?$

继续阅读“2011年考研数二第11题解析”

1. 前言

明白二重积分的几何意义对我们更好的理解和掌握高等数学中二重积分的相关题目具有十分重要的意义。在本文中，荒原之梦网将通过形象的图文，清晰明了的阐释清楚二重积分的几何意义，让大家在学习二重积分以及在计算二重积分的相关题目时，更加胸有成竹。

继续阅读“高等数学：二重积分的几何意义解释”

一、题目

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $(\frac{\sin x}{1+\cos x}$ $+$ $|x|)$ $dx$ $=$__.

二、解析

本题存在（关于原点对称的）对称区间 “$[-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}]$”, 在求积分的时候，如果看到这样的对称区间，则要考虑被积函数是不是奇函数或者偶函数。如果是奇函数，则其在对称区间上的积分为 $0$, 如果是偶函数，则我们可以只计算其大于 $0$ 或者小于 $0$ 方向上的积分，之后再乘以 $2$ 即可获得整个积分区间上的积分数值。

由于：

$\frac{\sin (-x)}{1+\cos(-x)}$ $=$ $\frac{-\sin x}{1+\cos x}$ $\Rightarrow$ $f(-x)$ $=$ $-f(x)$.

因此，$f(x)$ $=$ $\frac{\sin x}{1+\cos x}$ 是一个奇函数，因此，其在对称区间 $[-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}]$ 上的积分为 $0$.

又由于：

$|-x|$ $=$ $|x|$ $\Rightarrow$ $g(-x)$ $=$ $g(x)$.

因此，$g(x)$ $=$ $|x|$ 是一个偶函数。

于是：

原式 $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $|x|$ $dx$ $=$ $2$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $x$ $dx$ $=$ $2$ $\cdot$ $\frac{1}{2}x^{2}|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $=$ $\frac{\pi^{2}}{4}$.

当然，本题除了可以使用积分的原理计算之外，还可以画图计算面积，如图 1：

根据上图，我们有：

$\frac{\pi}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$ $\cdot$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $2$ $=$ $\frac{\pi^{2}}{4}$.

综上可知，本题的正确答案是：$\frac{\pi^{2}}{4}$.

EOF

一、题目

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $(\frac{1-\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1}{\sin kx}}$ $=$ $e$, 则 $k$ $=$__.

二、解析

观察本题可以发现，这是一个求极限的式子，而且等式的右边是 $e$, 符合“两个重要极限”中的第二个重要极限的一部分特征。

两个重要极限如下：

$\lim_{x \rightarrow x_{x_{0}}}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $1$, $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1+\frac{1}{x})^{x}$ $=$ $e$.

由于题目中的式子不存在上述公式中的 $1$, 因此，我们需要构造出这个 $1$, 即：

$1$ $+$ $\square$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x }$ $\Rightarrow$ $\square$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$ $-$ $1$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$ $-$ $\frac{1+\tan x}{1+\tan x}$ $=$ $\frac{-2 \tan x}{1+\tan x}$.

于是，原式 $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1}{\sin kx}}$ $=$ $e$. (1)

由于当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\frac{-2\tan x}{1+\tan x}$ $\rightarrow$ $0$ 且 $\frac{1}{\sin kx}$ $\rightarrow$ $\infty$, 所以，符合使用“两个重要极限”的条件，可以继续接下来的计算。

接下来继续向公式的方向构造等式。

$(1)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x} \frac{-2\tan x}{1+\tan x} \frac{1}{\sin kx}}$. (2)

根据公式，我们知道：

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x}}$ $=$ $e$.

于是：

$(2)$ $=$ $e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2\tan x}{1+\tan x}\frac{1}{\sin kx}}$ $=$ $e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}}$. (3)

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\tan x$ $\rightarrow$ $0$ 是不可以带入原式中的（只有非零和非无穷的数值可以带入原式中。），不过当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$(1+\tan x)$ $\rightarrow$ $1$ 是可以带入原式中的，于是：

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2\tan x}{\sin kx}$.

又因为当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\sin x$ $\sim$ $\tan x$ $\sim x$, 于是：

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2\tan x}{\sin kx}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2x}{kx}$ $=$ $-\frac{2}{k}$.

即：

$e^{-\frac{2}{k}}$ $=$ $e$ $\Rightarrow$ $-$ $\frac{2}{k}$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $k$ $=$ $-$ $2$.

综上可知，正确答案是：$-2$.

EOF

一、题目

设函数 $f(x)$ $=$ $x$ $+$ $a$ $\ln(1+x)$ $+$ $bx$ $\sin x$, $g(x)$ $=$ $k$ $x^{3}$ 在 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时等价无穷小，求常数 $a$, $b$, $k$ 的取值.

二、解析

由于 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是等价无穷小，因此有：

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $1$, 即：

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{x+a \ln(1+x) + bx \sin x}{kx^{3}}$ $=$ $1$.

又由麦克劳林公式：

1. $\sin x$ $=$ $x$ $+$ $o(x^{2})$;

注 1：
根据麦克劳林公式，$\sin x$ 也可以等于 $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{6}$ $+$ $o(x^{4})$, 但是这里为了能够在接下来的计算中使得分子分母可以使用“对照”的方式求解，分子的最大幂次不能大于分母的最大幂次。由于 $\sin x$ 在使用麦克劳林公式替换之后还需要和 $x$ 相乘得到二次幂，因此这里只能令 $\sin x$ 等于 $x$ $+$ $o(x^{2})$.

2. $\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $o(x^{3})$.

注 2：
对 $\ln(1+x)$ 项数的选取所依据的原因和注 $1$ 一致。

于是，我们有：

$1$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{x+ax-\frac{a}{2}x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})+bx^{2}+o(x^{3})}{kx^{3}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{(1+a)x+(b-\frac{a}{2})x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})}{kx^{3}}$.

于是，我们有：

$\left\{\begin{matrix} 1+a=0,\\ b-\frac{a}{2}=0,\\ \frac{a}{3}=k. \end{matrix}\right.$

解得：

$\left\{\begin{matrix} a=-1,\\ b=-\frac{1}{2},\\ k=-\frac{1}{3}. \end{matrix}\right.$

三、手写作答

EOF

一、题目

微分方程 $y”$ $+$ $2y’$ $+$ $3y$ $=$ $0$ 的通解为__.

二、解析

观察可知，这是一个二阶常系数线性齐次微分方程。

二阶常系数线性齐次微分方程的性质如下：

形如 $y”$ $+$ $py’$ $+$ $qy$ $=$ $0$, 其中 $p$, $q$ 均为常数。

特征方程为：$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$,

(1) 当 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ 为互异实根时，微分方程得通解为 $y(x)$ $=$ $C_{1}$ $e^{\lambda_{1}x}$ $+$ $C_{2}$ $e^{\lambda_{2}x}$;

(2) 当 $\lambda_{1}$ $=$ $\lambda_{2}$ 时，通解为 $y(x)$ $=$ $(C_{1}+C_{2}x)$ $e^{\lambda_{1}x}$;

(3) 当 $\lambda$ $=$ $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ （复数根）时，通解为 $y(x)$ $=$ $e^{\alpha x}$ $(C_{1}$ $\cos \beta$ $x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta$ $x)$.

在本题中，特征方程中的 $p$ $=$ $2$, $q$ $=$ $3$, 因此特征方程为：

$\lambda^{2}$ $+$ $2$ $\lambda$ $+$ $3$ $=$ $0$. (1)

此外，我们还知道，对于形如 $a$ $x^{2}$ $+$ $bx$ $+$ $c$ $=0$ 的一元二次方程，其求根公式为：

$x$ $=$ $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$.

于是，我们知道，对于 (1) 式：

$\lambda$ $=$ $\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{2}$ $=$ $\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}$. (2)

我们又知道，在虚数中（复数包含虚数和实数），虚数单位 $i$ 有如下性质：

$i^{2}$ $=$ $-1$.

于是，(2) 式可以写成：

$\lambda$ $=$ $\frac{-2\pm\sqrt{8i^{2}}}{2}$ $=$ $\frac{-2\pm i 2 \sqrt{2}}{2}$ $=$ $-1$ $\pm$ $i$ $\sqrt{2}$.

于是，$\alpha$ $=$ $-1$, $\beta$ $=$ $\sqrt{2}$.

因此，正确答案是：

$y$ $=$ $e^{-x}$ $(C_{1}$ $\cos \sqrt{2}x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \sqrt{2}$ $x$ $)$

EOF

一、题目

微分方程 $xy’$ $+$ $y$ $=0$ 满足条件 $y(1)$ $=$ $1$ 的解是 $y$ $=$__.

二、解析

由 $xy’$ $+$ $y$ $=0$ 得：

$(xy)’$ $=0$.

即：

$xy$ $=$ $C$ $\Rightarrow$ $y$ $=$ $\frac{C}{x}$

又因为 $y(1)$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $1$ $=$ $\frac{C}{1}$ $\Rightarrow$ $C$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $y$ $=$ $\frac{1}{x}$.

综上可知，正确答案是：$\frac{1}{x}$.

EOF