高等数学：二重积分的几何意义解释

1. 前言

明白二重积分的几何意义对我们更好的理解和掌握高等数学中二重积分的相关题目具有十分重要的意义。在本文中，荒原之梦网将通过形象的图文，清晰明了的阐释清楚二重积分的几何意义，让大家在学习二重积分以及在计算二重积分的相关题目时，更加胸有成竹。

2. 二重积分的几何意义

二重积分 $\iint_{D}f(x,y)dxdy$ 描述的是由曲面 $z=f(x,y)$ 在三维坐标系 $xyz$ 中和 $xOy$ 平面形成的【曲顶平底柱体】的体积——【曲顶】指的是曲面 $z=f(x,y)$, 【平底】指的是三维坐标系 $xyz$ 中的 $xOy$ 平面中的积分区域 $D$。

例如，对于如图 01 所示的曲顶柱体，“积分区域”就是该体积底部的矩形区域，顶部的曲面是被积的“双变量函数”的图像，整个曲顶柱体的体积就是对应的二重积分的值。

3. 二重积分的值其实是对应的曲顶柱体的“有向体积”

二重积分 $\iint_{D}f(x,y)dxdy$ 的数值是“曲顶柱体的【有向】体积”，也就是说，在三维坐标系 $xyz$ 中，曲面 $z=f(x,y)$ 对应的曲顶平底柱体在 $xOy$ 平面上方的为【正体积】，在 $xOy$ 平面下方的为 【负体积】，在 $xOy$ 平面上的为【零体积】——二重积分描述的是【体积】而不是面积。

参考资料：
[1]. Multiple integral – Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_integral

更新日志：
2024 年 03 月 03 日：第 01 次更新，添加图片、说明和标签。

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