前言
本文是我根据公开资料并结合自己的理解给出的对二重积分几何意义的解释。
二重积分描述的是什么？
二重积分 $\iint_{D}f(x,y)dxdy$ 描述的是由曲面 $z=f(x,y)$ 在三维坐标系 $xyz$ 中和 $xOy$ 平面形成的【曲顶平底柱体】的体积——【曲顶】指的是曲面 $z=f(x,y)$, 【平底】指的是三维坐标系 $xyz$ 中的 $xOy$ 平面中的积分区域 $D$。
二重积分的数值代表什么？
二重积分 $\iint_{D}f(x,y)dxdy$ 的数值是“曲顶柱体的【有向】体积”，也就是说，在三维坐标系 $xyz$ 中，曲面 $z=f(x,y)$ 对应的曲顶平底柱体在 $xOy$ 平面上方的为【正体积】，在 $xOy$ 平面下方的为 【负体积】，在 $xOy$ 平面上的为【零体积】——二重积分描述的是【体积】而不是面积。
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