一、前言 
大部分时候，在对矩阵或者行列式进行运算的时候，我们都倾向于通过初等变换使得矩阵/行列式中产生更多的 $0$ 元素，或者说倾向于将矩阵/行列式中的非 $0$ 元素消为 $0$ 元素（在本文中，我们将这一类操作简称为“消 $0$”）。
那么，在消 $0$ 的时候，有什么注意事项呢？该采取什么样的策略，才能尽可能又快又多地消出来更多的 $0$ 元素呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解。
继续阅读“矩阵/行列式消 $0$ 的一个优化策略”标签： 考研数学二
二阶矩阵的快速求逆公式
一、前言
求解逆矩阵是线性代数中的一个基本知识点。在考试时的时候，要求解的逆矩阵一般是二阶或者三阶的矩阵，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们一个二阶矩阵的快速求逆公式以及该公式的记忆方法。
继续阅读“二阶矩阵的快速求逆公式”对行列式中系数的提取要以行或者列为单位进行
一、题目
已知：
$$
\begin{aligned}
D & = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} \\ \\
D_{1} & = \begin{vmatrix}
2 a_{11} & 2 a_{12} & 2 a_{13} \\
2 a_{21} & 2 a_{22} & 2 a_{23} \\
2 a_{31} & 2 a_{32} & 2 a_{33}
\end{vmatrix}
\end{aligned}
$$
则：
$$
D_{1} = ?
$$
[A]. $2 D$
[C]. $2^{9} D$
[B]. $2^{3} D$
[D]. $2 \cdot 3 D$
解决无穷小量取舍问题的一个思路：让小泡泡汇聚成大泡泡
一、前言
在解决含有无穷小量问题的时候，我们常常需要面对的问题就是：
什么时候该将无穷小量考虑进运算结果中？什么时候又该将无穷小量舍去？
在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助“小泡泡转为大泡泡”的现象，为同学们讲明白，如何通过让大的无穷小更大，让小的无穷小更小的“分化融合”方法，来明确无穷小量在具体计算过程中的取舍。
继续阅读“解决无穷小量取舍问题的一个思路：让小泡泡汇聚成大泡泡”借助函数或数列的思想研究向量的变化过程
一、题目
已知 $\boldsymbol{\alpha_{1}}$, $\boldsymbol{\alpha_{2}}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$（其中 $s \leqslant n$）是一组 $n$ 维列向量，$\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵。如果：
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1} = \boldsymbol{\alpha}_{2}, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2} = \boldsymbol{\alpha}_{3}, \\
& \cdots, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s-1} = \boldsymbol{\alpha}_{s} \neq \mathbf{0}, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s} = \mathbf{0}
\end{aligned}
$$
请证明向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关。
难度评级：
继续阅读“借助函数或数列的思想研究向量的变化过程”峰图 | 加减乘除运算对函数图象形状的影响
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、前言
对函数的自变量加上、减去、乘以、除以一个数字可以对函数图像产生影响，在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示和口诀的方式让同学们能够直观地理解这种影响，进而在学习和解题的过程中加以应用。
继续阅读“峰图 | 加减乘除运算对函数图象形状的影响”伽马函数（欧拉第二积分/Gamma Function）详解
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解考研高等数学以及概率论和数理统计课程中常用的伽马函数。
继续阅读“伽马函数（欧拉第二积分/Gamma Function）详解”计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪”
一、题目
$$
D = \begin{vmatrix}
\textcolor{orange}{a_{0}} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{\cdots} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} \\
\textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{a_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & \textcolor{orange}{a_{2}} & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{\vdots} & \vdots & \vdots & \textcolor{orange}{\ddots} & \vdots & \cdots \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & \textcolor{orange}{a_{n−1}} & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & \textcolor{orange}{a_{n}}
\end{vmatrix} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪””考研数学中的 $\exp$ 是什么意思？
没说邻域内可导不能用洛必达法则
一、题目
已知，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导, $\left\{ \alpha_{n} \right\}$ 与 $\left\{\beta_{n} \right\}$ 是两个趋于 0 的正数列, 请求解下面的极限：
$$
I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f \left(x_{0} + \alpha_{n} \right) – f \left(x_{0} – \beta_{n} \right)}{\alpha_{n} + \beta_{n} }
$$
难度评级：
继续阅读“没说邻域内可导不能用洛必达法则”借助极限与无穷小的关系，对一点处导数的定义式进行完善
一、前言
我们知道，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义（不需要一定在该邻域内可导），且函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，则：
$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (x_{0}) \\ \\
& = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}} \\ \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}
\end{aligned}
$$
上面的公式也被称作函数在一点处导数的定义式。
但事实上，上面式子中的等号严格的来说是不成立的，且在有些时候，我们不能直接使用上面的式子完成解题。
所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助极限与无穷小的关系，对上面的式子进行完善，以形成一个比较完备的一点处导数的定义式。
继续阅读“借助极限与无穷小的关系，对一点处导数的定义式进行完善”证明无限趋于并不是等于的方法：放大无穷多倍
一、题目
$$
\lim_{ n \rightarrow \infty } n \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} – \mathrm{e} \right] = ?
$$
难度评级：
继续阅读“证明无限趋于并不是等于的方法：放大无穷多倍”连接函数极限与数列极限的桥梁：Heine 定理
关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式
一、前言
我们知道，一般情况下，积分会导致函数的奇偶性发生改变。例如，在下面的式子中，一般情况下，如果函数 $f(x)$ 是奇函数，则 $F(x)$ 就是偶函数；如果函数 $f(x)$ 是偶函数，则 $F(x)$ 就是奇函数：
$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t
$$
但是，如果我们要分析的是下面这个式子，则函数 $f(x)$ 的奇偶性会对函数 $F(x)$ 的奇偶性产生什么样的影响呢？
$$
F(x) = \int_{0}^{x} g(x) \cdot f(t) \mathrm{~d} t
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过详细的计算，给同学们讲明白这个问题。
继续阅读“关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式”“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助几何中“两点之间确定一条直线”的思想，帮助同学们理解什么时候可以使用特例法求解题目答案。
继续阅读““两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用”