标签： 线性代数基础

§1. 什么是实对称矩阵？

要定义实对称矩阵，我们首先需要知道什么是对称矩阵——

设 $\boldsymbol{A} = \left( a_{ij} \right)_{n \times n}$ 是一个 $n$ 阶方阵，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{A}$, 那么就称 $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵.

也就是说，一个对称矩阵，指的就是关于主对角线对称，主对角线两边对应位置的元素相等的矩阵：

$$
\boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{A} \iff a_{ij} = a_{ji} \quad \left( \forall i, j \right)
$$

例如，下面的矩阵就是一个对称矩阵：

$$
\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{matrix} \right)
$$

因为 $a_{12} = a_{21} = 2$, $a_{13} = a_{31} = 3$, $a_{23} = a_{32} = 5$.

基于上面的定义，我们就可以定义什么是实对称矩阵——

如果一个对称矩阵的所有元素都是实数，就称它为实对称矩阵.

考研数学中的对称矩阵，一般就是实对称矩阵.

§2. 实对称矩阵的重要性质

1. 实对称矩阵的特征值都是实数

需要注意的是，实对称矩阵主对角线上的元素不一定是其特征值，或者说，实对称矩阵主对角线上的元素与实对称矩阵的特征值之间没有必然的关系.

2. 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交

若特征值 $\lambda_{1} \neq \lambda_{2}$, 且这两个特征值对应的征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$，则：

$$
\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta} = 0
$$

3. 实对称矩阵一定可以正交对角化

若 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，则存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得：

$$
\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，即：

$$
\boldsymbol{\Lambda} = \mathrm{diag} \left( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n} \right)
$$

§3. 实对称矩阵与二次型的关系

若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵，则其对应的二次型为：

$$
f \left( \boldsymbol{x} \right) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} x_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} a_{ij} x_{i} x_{j}
$$

注意：交叉项 $a_{ij} x_{i} x_{j}$ 前面的系数之所以是 $2$, 是因为 $a_{ij} x_{i} x_{j}$ 和 $a_{ji} x_{j} x_{i}$ 合并了，且 $a_{ij} = a_{ji}$.

例如，对于一个 $3$ 阶的实对称矩阵：

$$
\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \end{matrix} \right)
$$

其对应二次型为：

$$
f \left( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = a x_{1}^{2} + b x_{2}^{2} + c x_{3}^{2} + 2 d x_{1} x_{2} + 2 e x_{1} x_{3} + 2 f x_{2} x_{3}
$$

如果要进一步求解实对称矩阵对应的二次型的标准型，也就是将二次型转换为只含平方项、不含交叉项的形式，则需要求解出实对称矩阵的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n}$, 此时，该实对称矩阵的二次型的标准型就是：

$$
f = \lambda_{1} y_{1}^{2} + \lambda_{2} y_{2}^{2} + \dots + \lambda_{n} y_{n}^{2}
$$

---

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们汇总讲解初等矩阵的相关性质.

继续阅读“初等矩阵的性质汇总”

一、前言

如果一个矩阵是幂零矩阵，那么，无论经过怎么样的初等变换，这个矩阵都是幂零矩阵吗？

反过来说，如果一个矩阵不是幂零矩阵，那么，无论经过怎么样的初等变换，这个矩阵都不是幂零矩阵吗？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们深入解析这一问题.

继续阅读“初等变换是否会改变矩阵的幂零属性？”

一、前言

在本文中，我们来看一看矩阵的不同运算会导致矩阵的特征值对应发生什么样的变化.

继续阅读“矩阵运算与特征值运算的映射关系”

一、题目

继续阅读“2019年考研数二第23题解析：相似矩阵、相似对角化”

一、前言

在《求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 P 的步骤》这篇文章中，我们知道了求解矩阵相似对角化 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ $=$ $\boldsymbol{\Lambda}$ 中可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的步骤.

在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过对这一步骤必要性和充分性的分析，来说明为什么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似对角化中的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 是由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量组成的.

在本文中，我们用 $\boldsymbol{\Lambda}$ 表示对角矩阵.

继续阅读“矩阵 A 相似对角化中的可逆矩阵 P 为什么是由矩阵 A 的特征向量组成的？”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从矩阵的特征值、特征向量与相似对角化的定义出发，为同学们讲解清楚求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的步骤.

有关这一步骤正确性的证明，可以查阅《矩阵 A 相似对角化中的可逆矩阵 P 为什么是由矩阵 A 的特征向量组成的？》这篇文章.

继续阅读“求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 P 的步骤”

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、题目

⟨A⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $n$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $n$.

⟨B⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $n$.

⟨C⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $n$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $m$.

⟨D⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $m$.

继续阅读“峰图 | 解这道题不需要记住公式，只需要撕下两个“纸条””

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

目录

一、前言
二、正文
§2.1 折线形矩阵的定义
§2.1.1 稳态矩阵
§2.1.2 折线形矩阵
§2.2 折线形矩阵中矩阵秩的确定
§2.3 折线形矩阵的矩阵乘法运算及矩阵秩的变化
§2.3.1 基于折线形矩阵拆解矩阵乘法运算并构建投射关系图
§2.3.2 基于矩阵乘法的投射关系图构建叠影关系图
§2.3.3 基于矩阵乘法的叠影关系图证明矩阵乘法中秩的变化性质
§2.4 折线形矩阵的矩阵乘法运算及一些几何性质
三、总结

一、前言

在本文中，「荒原之梦」将通过定义折线形矩阵的方式，将矩阵的秩几何化，并通过推导得到的几何化视角，在矩阵乘法运算过程中，观察矩阵秩的变化.

继续阅读“峰图 | 通过构建折线形矩阵研究矩阵秩的几何形态及矩阵的秩在矩阵乘法运算中表现出的性质”

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵是否满秩？》这篇文章中，我们知道：

• 两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩；
• 两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩.

而在本文中，我们就通过具体的公式推导，来看看，满秩或者不满秩的方阵相乘，所得的矩阵的秩为什么值.

继续阅读“满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵的秩该怎么判断？”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们汇总一下求解逆矩阵的常用方法.

二、正文

在本文中，我们设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是可逆矩阵.

方法 1：定义法

根据逆矩阵的定义，我们知道，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 互为逆矩阵，则有：

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}
$$

因此，我们可以用逆矩阵的定义来求解逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{B}, \ \boldsymbol{B}^{-1} = \boldsymbol{A}
}
$$

方法 2：伴随矩阵法

根据伴随矩阵的定义，我们知道：

$$
\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{A}^{-1} \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}
$$

于是，我们可以用伴随矩阵的定义来求解逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{\boldsymbol{A}^{*}}{ \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} }
}
$$

方法 3：分块矩阵法

对于分块矩阵，我们可以使用下面的公式快速求解其逆矩阵：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{bmatrix} \\ \\
& \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}
\end{aligned}
}
$$

方法 4：初等变换法

根据《初等变换求逆法的形象理解》这篇文章可知——

对于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 我们可以用初等行变换的方式得到其逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E}
\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等行变换}} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{A}^{-1}
\end{pmatrix}
}
$$

也可以用初等列变换的方式得到其逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{E}
\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等列变换}} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{A}^{-1}
\end{pmatrix}
}
$$

---

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过多种方式，证明以下两个结论：

• 两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩；
• 两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩.

继续阅读“满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵是否满秩？”