线性代数基础归档 - 荒原之梦

用“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

当矩阵的乘法和转置运算结合的时候，有如下运算律：

$$
\textcolor{yellow}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

从上面这条定理出发，我们可以验证任意多个矩阵相乘时的转置运算律。例如，若令矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C} \boldsymbol{D}$, 则：

$$
\begin{aligned}
& \ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})]^{\top} = (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \boldsymbol{D}]^{\top} = \boldsymbol{D}^{\top} \boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\end{aligned}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用原创的“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律。

Note

作为对比，可以发现，用传统数学方法完成的证明过程会显得较为繁琐：链接 1、链接 2.
zhaokaifeng.com

用一般具体的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一般具体的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

用完全抽象的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用完全抽象的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

转置运算中的矩阵必须是方阵吗？

一、前言

在矩阵的转置运算中，参与运算的矩阵必须是 $n \times n$ 阶的方阵吗？

基于主对角线元素复杂度梯度的矩阵/行列式化简策略

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的另一篇文章《矩阵/行列式的一个优化策略》中，我们首次提出了在包含多个 $0$ 元素的矩阵/行列式中的一个优化策略，那么，如果初始的矩阵/行列式中没有 $0$ 元素，或者只有少量的 $0$ 元素该怎么办呢？

在本文中，我们将以矩阵/行列式的主对角线为基准，通过元素复杂度梯度排列的方式，给同学们提供一种适用性更广泛的矩阵/行列式化简的方法。

投石问路：线性代数中的升阶法详解

一、前言

在对高阶行列式进行计算的时候，其中一种计算方式就是“升阶”，也就是将原来的 $n$ 阶行列式升为 $n+1$ 阶行列式。

那么，什么样的行列式可以尝试升阶操作？怎么进行升阶操作？升阶之后该怎么进行接下来的计算呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将就以上问题为同学们详细讲解。

矩阵/行列式消 $0$ 的一个优化策略

一、前言

大部分时候，在对矩阵或者行列式进行运算的时候，我们都倾向于通过初等变换使得矩阵/行列式中产生更多的 $0$ 元素，或者说倾向于将矩阵/行列式中的非 $0$ 元素消为 $0$ 元素（在本文中，我们将这一类操作简称为“消 $0$”）。

那么，在消 $0$ 的时候，有什么注意事项呢？该采取什么样的策略，才能尽可能又快又多地消出来更多的 $0$ 元素呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解。

二阶矩阵的快速求逆公式

一、前言

求解逆矩阵是线性代数中的一个基本知识点。在考试时的时候，要求解的逆矩阵一般是二阶或者三阶的矩阵，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们一个二阶矩阵的快速求逆公式以及该公式的记忆方法。

“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用

一、前言

“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用 | 荒原之梦考研数学 — 图 01.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助几何中“两点之间确定一条直线”的思想，帮助同学们理解什么时候可以使用特例法求解题目答案。

关于由 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ 可得 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $n$ 的一个简单证明方式

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们证明下面这个公式：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O} \\
\Leftrightarrow & \ \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{B}) \leqslant n
\end{aligned}
$$

其中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n \times n$ 阶方阵。

非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $\boldsymbol{\eta}_{1}$, $\boldsymbol{\eta}_{2}$, $\boldsymbol{\eta}_{3}$ 均是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，若 $k_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ $+$ $k_{3} \boldsymbol{\eta}_{3}$ 也是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，则 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$ 应满足：

[A]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $1$

[B]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $3$

[C]. $k_{1}$ $\times$ $k_{2}$ $\times$ $k_{3}$ $=$ $1$

[D]. $k_{1}$ $=$ $1$ 且 $k_{2}$ $=$ $1$ 且 $k_{3}$ $=$ $1$

难度评级：

不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，$r(\boldsymbol{A})$ $=$ $n-1$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的两个不同的解，$k$ 是任意常数，则以下哪个选项一定是 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的通解？

[A]. $k \boldsymbol{\alpha}_{1}$

[B]. $k \boldsymbol{\alpha}_{2}$

[C]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$

[D]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $-$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$

难度评级：

利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C

一、题目

荒原之梦考研数学

已知：

$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

$$
\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

求可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}
$$

难度评级：

对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵

一、前言

关于主对角线对称的矩阵，特别是单位矩阵具有很多的神奇的性质，在「荒原之梦考研数学」的《单位矩阵可以用来记录初等变换》一文中，我们学习了单位矩阵在“存储”和“写入”矩阵初等行变换和初等列变换上的能力。

在本文中，我们将学习单位矩阵和一般的对称矩阵在“对称初等变换”条件下自动生成其转置矩阵的特殊性质。

对称初等变换示意图

graph TD
	O{O} --第 1 行与第 2 行的初等变换--> A1[A1];
	O --第 1 列与第 2 列的初等变换--> B1[B1];
	A1 --第 2 行与第 3 行的初等变换--> A2[A2];
	B1 --第 2 列与第 3 列的初等变换--> B2[B2];
	A2 --第 i 行与第 j 行的初等变换--> A[A];
	B2 --第 i 列与第 j 列的初等变换--> B[B];
	A --> C[A 和 B 互为转置矩阵];
	B --> C;

单位矩阵可以用来记录初等变换

一、前言

线性代数中的“单位矩阵（$\boldsymbol{E}$）”是一个非常特别的矩阵，这个矩阵非常简单，以至于可以用来记录初等变换的过程。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下单位矩阵的这一作用。