荒原之梦

一、题目

已知 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛, $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $-$ $\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{x}} \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = ?$

难度评级：

继续阅读“求解由无穷限反常积分式子确定的“隐积分””

一、前言

在考研数学真题和练习题中，我们经常会遇到对包含 $e^{x}$ 或 $e^{x}$ 变体的式子进行积分、凑微分、分部积分和求导等运算，由于 $e^{x}$ 的特殊性，这类题目往往需要一些经由日常积累才能快速运用的技巧——

荒原之梦网为此整理了和 $e^{x}$ 有关的常用解题思路，建议大家 收 藏 当前页面的链接，后续更新会第一时间发布在这里。

继续阅读“考研数学解题思路积累：和 $e^{x}$ 有关的那些式子”

一、题目

已知 $\delta>0$, 且在区间 $(-\delta, \delta)$ 内，有：

$$
\begin{cases}
& f^{\prime \prime}(x)>0; \\
& f(0)=0; \\
& f^{\prime}(0)=0
\end{cases}
$$

又有 $I=\int_{-\delta}^{\delta} f(x) \mathrm{d} x$.

则 $I$ 与 $0$ 的关系如何？

难度评级：

继续阅读“通过一阶导和二阶导判断一重积分的大致取值范围”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导, 且 $f(x)>0$.

若下面不等式成立：

$$
f(a)(b-a)<\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}
$$

则 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 分别需要满足什么条件？

难度评级：

继续阅读“利用几何意义快速判断一重定积分的性质”

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)<0$ 其中 $x \in(0,1)$, 则：

当 $0<x<1$ 时，$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $\int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t$ 之间的大小关系如何？

难度评级：

继续阅读“被看成常数的变量在整个积分运算过程中都要按照常数处理：即便该变量的表示形式和真正的变量一致也不行”

一、题目

已知 $n$ 充分大时 $\left|a_{n}\right| \leq |b_{n}| \leq |c_{n}|$, 且 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} |c_{n}|$. 则以下选项，正确的是哪个？

(A) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left|a_{n}\right|-b_{n}\right)=0$

(B) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – c_{n}\right)=0$

(C) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |a_{n}| – c_{n}\right)=0$

(D) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – a_{n}\right)=0$

难度评级：

继续阅读“带绝对值的式子一定要考虑清楚正负”

一、题目

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\sin x) \mathrm{d} x$, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos (\cos x) \mathrm{d} x$ 和 $1$ 的大小关系如何？

难度评级：

继续阅读“指定区间上的一个关键结论：sin x 小于 x，cos x 大于 x”

一、题目

已知：

$$
f(x)=\int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{\cos t}-\mathrm{e}^{-\cos t}\right) \mathrm{d} t.
$$

则 $f(x)$ 和 $f(x+2 \pi)$ 之间是什么关系？

难度评级：

继续阅读“一道没用上变限积分性质的变限积分题目：应用了积分上下限的加减运算、周期函数的定积分性质和三角函数的性质”

一、题目

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right)=?
$$

难度评级：

继续阅读“计算极限问题时“抓大头”要慎重！”

一、前言

在计算极限问题时，使用“抓大头”和“抓小头”的计算方式，有时候可以加快计算速度，但是，这种计算极限的方式不能随便使用——在用之前，必须清楚当前的情况是否能用抓大头和抓小头的计算方式，否则极易出现错误。

继续阅读“取极限“抓大头”、“抓小头”的适用范围：一般只适用于分式的分子和分母中都存在变量且抓大头之后式子整体的极限存在”

一、前言

通常，借助周期函数的性质可以帮助我们寻找解题思路，或者简化求解的难度——但这一切的前提是，我们必须知道一个函数是否是一个周期函数。

为此，荒原之梦网在一般的周期函数判断方法的基础上，提出了一种名为“单路径约束”的全新判断方式，帮助大家快速判断一个函数是否是周期函数。

本文用于判断函数的周期性，如果想判断函数的奇偶性可以参考《快速判断函数奇偶性的口诀》一文。

如果想了解周期函数的积分的有关性质，可以参考《周期函数的积分性质汇总》一文。

继续阅读“如何判断一个函数是否是周期函数以及其周期是多少”

一、题目

已知 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 并满足 $g\left(\frac{a+b}{2}+x\right)$ $=$ $-g\left(\frac{a+b}{2}-x\right)$ $\left(\forall x \in\left[0, \frac{b-a}{2}\right]\right)$, $\int_{0}^{\frac{b – a}{2}} g\left(\frac{a+b}{2}+t\right) \mathrm{d} t$ $=$ $A$, 则 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“由已知求未知：先把未知式子的形式往已知式子的形式上凑”

一、题目

$$
I=\int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x=?
$$

难度评级：

继续阅读“一个夸张的积分上限：肯定有规律可循”

一、题目

已知 $f(x)$ 有连续的一阶导数，$f(0)=0$, $f(a)=1$, $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{d} t$, 则 $F(2 a)-2 F(a) = ?$

$$
(A) \quad 2
$$

$$
(B) \quad 0
$$

$$
(C) \quad 1
$$

$$
(D) \quad -1
$$

难度评级：

继续阅读“变限积分也是一种特殊的定积分：能转为定积分计算的可以尝试转为定积分进行计算”