一、题目
$\int_{-\infty}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 的敛散性如何?
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继续阅读““无穷”的“心思”不能靠“有穷”来猜”$\int_{-\infty}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 的敛散性如何?
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继续阅读““无穷”的“心思”不能靠“有穷”来猜”曲线 $y=x^{2} \sin x$ $(0 \leqslant x \leqslant 2 \pi)$ 与 $X$ 轴所围成区域的面积 $S$ 的表达式是什么?
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继续阅读“曲线与坐标轴所围成的面积不一定就等于对应区间上积分的值”已知 $a$ 与 $b$ 是两个常数, 且 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}$ $\mathrm{e}^{x}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+a\right)$ $=$ $b$, 则
$$
\begin{cases}
& a = ? \\
& b = ?
\end{cases}
$$
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继续阅读“利用现成的结论快速解题”$$
\int_{0}^{+ \infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = ?
$$
$$
\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = ?
$$
$$
\int_{- \infty}^{0} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = ?
$$
继续阅读“常用的反常积分结论之 e 积分”Tips:
关于考研数学中涉及 $e^{x}$ 的一些计算技巧,可以查看《考研数学解题思路积累:和 $e^{x}$ 有关的那些式子》这篇文章。
已知 $f(x)=1-\cos x$, 则:
$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})(1-\sqrt[4]{\cos x})(1-\sqrt[5]{\cos x})}{f\{ f[f(x)] \}}=?
$$
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继续阅读“一个不能用洛必达运算也不能用泰勒公式的无穷小题目”你知道当 $x \rightarrow 0$ 时,以下式子的等价无穷小是多少吗?
$$
1 – \sqrt{\cos x} = ?
$$
$$
1 – \sqrt[3]{\cos x} = ?
$$
$$
1 – \sqrt[5]{\cos x} = ?
$$
已知 $f(x)$ 可导, $f(0)=0$, $f^{\prime}(0)=2$, $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} t^{2} f\left(x^{3}-t^{3}\right) \mathrm{d} t$, $g(x)=\frac{x^{7}}{5}$ $+$ $\frac{x^{6}}{6}$, 则 当 $x \rightarrow 0$ 时, $F(x)$ 是 $g(x)$ 的等价无穷小吗?
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继续阅读“变限积分被积函数中包含的变量不好处理?先整体代换试试!”已知正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{a_{n}} x^{n} \mathrm{~d} x$ $=$ $2$, 则 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ $=$ $?$
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继续阅读“一般规律:大于 1 时越乘越大,小于 1 时越乘越小”已知:
$$
a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x
$$
则:
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n} = ?
$$
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继续阅读“当定积分遇上无穷大:先积分再计算无穷大”在进行定积分运算时,积分上下限是我们需要着重关注的一个问题——什么时候需要变?什么时候不需要变?在本文中,荒原之梦网(zhaokaifeng.com)将带你一探究竟!
继续阅读“定积分运算时的积分上下限:什么时候变?什么时候不变?”已知 $b>0$ 为常数, $\varphi(x)$ $=$ $\frac{2}{\sqrt{\pi b}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{b}} \mathrm{~d} t$, 并且 $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ $=$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$, 则 $\int_{0}^{+\infty}[1-\varphi(x)] \mathrm{d} x = ?$
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继续阅读“当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花?”在本文中,荒原之梦网(zhaokaifeng.com)将以实用为目的,尽可能简洁的表述出考研数学中要求的四种微分中值定理(因此,可能会导致某些表述不够严谨)。
继续阅读“四大微分中值定理汇总:费罗拉西”