「荒原之梦考研数学」文章

一、前言

在本文中，我们主要来讨论一下对下面这个式子怎么求导：

$$
y = x^{x}
$$

一、前言

在做一些涉及极限的求和题目时，我们会发现，有些解法就是通过将求和转为积分的方式完成的求解。

相关例题：(1)、(2)、(3)、(4)、(5)

那么，为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」通过将积分的物理意义从有向的几何量（面积、体积）或者物理意义，更改为“有向权重”的方式，探讨一种更接近积分与求和所蕴含的本质的理解方式，从而理清楚积分与求和之间的关系。

这里的“有向”是指存在“正”和“负”两种值。与传统上对积分有向面积或者有向体积的定义一样，本文中也将位于二维坐标水平轴或者三维坐标水平面上方的“有向权重”定义为“正”，下方的“有向权重”则定义为“负”——当然，“有向”并不是本文讨论的重点，也不是本文所提出的“权重”的必须性质，所以，在本文中接下来阐述“有向权重”的时候，会侧重于讨论“权重”本身。

一、前言

在本文中，我们一起学习极限的加、减、乘、除四则运算法则以及指数运算法则。

一、前言

用求和符号 $\sum$ 表示的求和运算是一种非常基本运算形式。在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过地铁线路的方式，为同学们形象地解释单重求和与双重求和的计算思路。

一、前言

凑微分的目的就是将积分 $\int \Phi(x) \mathrm{~d} x$ 改写成 $\int f(\phi(x)) \mathrm{~d} \phi(x)$ 的形式，即：

$$
\int \textcolor{orange}{\Phi(x)} \mathrm{~d} x = \int f(\textcolor{lightgreen}{\phi(x)}) \mathrm{~d} \textcolor{lightgreen}{\phi(x)}
$$

经过上述变换，就可以将积分变量从 $x$ 拓展成更复杂的 $\phi(x)$, 从而可以在大多数时候达到简化被积函数的作用。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们汇总了考研数学（高等数学）解题过程中常用的凑微分公式。

一、前言

凑微分是进行积分运算的一个常用方法，但是，对于一些复杂的式子，我们可能难以一眼就看出应该怎么“凑”，这时候该怎么办呢？

一、题目

已知函数 $f \left( u, v \right)$ 满足 $f \left( x + y, \frac{y}{x} \right) = x^{2} – y^{2}$，则：

$$
\begin{aligned}
& \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ? \\ \\
& \left. \frac{\partial f}{\partial v} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ?
\end{aligned}
$$

难度评级：

一、题目

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1 – x-\frac{x}{2} \sin x}{\sin x – x \cos x}
$$

一、题目

如图 01 所示，$X$ 轴上有一个线密度为常数 $\mu$, 长度为 $l$ 的细杆 $\bar{L}$，若质量为 $m$ 的质点 $\dot{M}$ 到细杆右端的距离为 $a$, 且引力系数为 $k$, 则质点 $\dot{M}$ 和细杆 $\bar{L}$ 之间引力的大小 $F$ 可表示为什么？

一、题目

请用定积分表示曲线 $y$ $=$ $x(x – 1)(2 – x)$ 与平面直角坐标系 $X$ 轴所围图形的面积 $S$

一、题目

判断下面反常积分的敛散性：

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int_{− \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} & = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm {e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《田字格分段函数融合法》这篇文章中，我们初步掌握了基于“田字格”这一工具确定涉及分段函数的计算时应该分几段考虑的问题。

在本文中，我将继续拓展“田字格”这一工具，在自变量含有绝对值运算的题目中，给同学们讲解一下如何使用“田字格”确定应该分几段计算含有分段函数的相关问题。