「荒原之梦考研数学」文章 – 第 45 页

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将给出扩展的无穷限的反常积分比阶审敛法和扩展的无界函数的反常积分比阶审敛法。

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每日箴言：对自己好一点，对世界宽容一点，美好就会多一点

擦拭灯泡，能带来更加明亮的光线，擦拭心情，去除那些影响我们开心的污渍，也能让世界更加明媚。

2024 年 00 月 00 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：俄罗斯叶卡捷琳堡的契卡洛夫斯卡娅地铁站。
作者：A.Savin
授权协议：本艺术作品是自由的，您可以依据自由艺术作品许可协议的条款传播和/或修改本艺术作品。
拍摄时间（当地时间）： 2019 年 05 月 29 日
拍摄地点：东经 60° 36′ 37.4″, 北纬 56° 48′ 26.5″
来源：wikimedia.org

一、题目

下面式子的极限存在吗？如果极限存在，则极限等于多少？

$$
I = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { x } { \sqrt { 1 – \cos ( a x ) } }
$$

其中，$0$ $<$ $| a |$ $<$ $\pi$

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趋于“无穷大”就要考虑趋于“负无穷大”和趋于“正无穷大”两种情况

一、题目

$$
I = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 x ^ { 3 } + 3 } } { \sqrt { 3 x ^ { 2 } – 2 } } = ?
$$

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每日箴言：生活本身也许是类似的，但换上不同的滤镜，就能有不同的心境

直面生活的五颜六色，烈日炎炎后或可阳光熹微，山高路陡也许能峰回路转，阴雨绵绵或许将柳暗花明，努力向上，一路都是鲜花。

2024 年 06 月 09 日

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描述：位于德国的施韦比施哈尔霍恩洛厄露天博物馆的大农舍花园
作者：Roman Eisele
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2022 年 06 月 15 日 13 时 54 分 19 秒
拍摄地点：东经 9° 41′ 56.51″, 北纬 49° 08′ 07.15″
来源：wikimedia.org

一、题目

已知 $b$ $>$ $a$ $>$ $0$, 请证明：

$$
\frac { \ln b – \ln a } { b – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$

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一个常用不等式的不常见证明：1/b > 2a/(a^2 + b^2)

一、题目

已知 $a$ $<$ $b$, 请证明：

$$
\frac { 1 } { b } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$

难度评级：

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每日箴言：每一列火车都有目的地，每一个人也都有人生的方向

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Алексей Задонский

每一列火车都有目的地，每一个人也都有人生的方向。所以，不必因为一时的问题迷茫，跟着生活的节奏，踏实、努力的向前走，相信自己脚下的路，未来，就会悄然而至。

2024 年 06 月 08 日

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描述：西伯利亚铁路客运列车，行驶于铁路位于斯柳江卡贝加尔湖畔路段。
作者：Алексей Задонский
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拍摄时间（当地时间）：2014 年 09 月 27 日 10 时 49 分 05 秒
拍摄地点：未知
来源：wikimedia.org

一、题目

已知，对于函数 $f(x)$, 其在 $x = a$ 点处的二阶导 $f ^ { \prime \prime } ( a )$ 存在，在 $x = a$ 处的一阶导 $f ^ { \prime } ( a ) \neq 0$, 则：

$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim _ { x \rightarrow a } \left[ \frac { 1 } { f ( x ) – f ( a ) } – \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( a ) ( x – a ) } \right] = ?
\end{aligned}
$$

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每日箴言：珍惜每一朵含苞待放的花，因为 ta 的美有无限种可能

含苞待放的花朵有时候远比热烈盛放的鲜花更具吸引力，因为这些尚未盛开的花朵有着无数种可能的盛放姿态，无数种可能的沁香满园。

2024 年 06 月 07 日

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描述：在葡萄上被露水包覆的七星瓢虫，拍摄于德国菲尔恩海默·瓦尔德海德自然保护区。
作者：Stephan Sprinz
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拍摄时间（当地时间）：2020 年 09 月 21 日上午 07 时 25 分 24 秒
拍摄地点：东经 8° 31′ 46.95″ 北纬 49° 33′ 52.66″
来源：wikimedia.org

等价无穷大替换公式

一、前言

等价无穷小的替换公式几乎所有考研数学资料都会提到，但是却鲜有提及“等价无穷大替换公式”。在本文中，荒原之梦考研数学将对此做一个阐释。

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做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势

一、题目

已知，函数 $f ( x )$ 连续，$f ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime } ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime \prime } ( 0 )$ $\neq$ $0$, 则：

$$
I = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { x } t f ( x – t ) \mathrm { d } t } { x \int _ { 0 } ^ { x } f ( x – t ) \mathrm { d } t } =?
$$