一个常用不等式的不常见证明：1/b > 2a/(a^2 + b^2)

一、题目

难度评级：

二、解析

Note

在有些题目中，若已知 $a$ $<$ $b$ 等条件，我们可能会用到 $\frac { 1 } { b }$ $>$ $\frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }$ 这个不等式。但是，不少辅导资料中并没有给出有关这个不等式的证明过程，如果我们不写证明过程直接在考试答题卡中写结论的话，有可能会被扣步骤分。所以，在本文中，荒原之梦考研数学将给出有关此不等式的完整证明过程。

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已知 $a$ $<$ $b$, 若：

$$
\begin{cases}
a \leqslant 0 \\
b > 0
\end{cases}
$$

则由于 $\frac{1}{b}$ $>$ $0$, $\frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }$ $\leqslant$ $0$, 因此，一定有：

$$
\frac { 1 } { b } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$

接着，若：

$$
\begin{cases}
a > 0 \\
b > 0
\end{cases}
$$

则：

$$
\begin{cases}
a \neq b \\
a^{2} + b^{2} > 0
\end{cases}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
( a – b ) ^ { 2 } > 0 \\ \\
& \Rightarrow a ^ { 2 } + b ^ { 2 } – 2 a b > 0 \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{springgreen}{a ^ { 2 } + b ^ { 2 }} > \textcolor{springgreen}{2 a b} \\ \\
& \Rightarrow \frac { \textcolor{springgreen}{a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } { \textcolor{orangered}{ b \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) } } > \frac { \textcolor{springgreen}{ 2 a b } } { \textcolor{orangered}{ b \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) } } \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{green}{\boldsymbol{\frac { 1 } { b } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } }}
\end{aligned}
$$

综上可知，由 $a$ $<$ $b$, 可得：

$$
\textcolor{green}{\boldsymbol{\frac { 1 } { b } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } }}
$$

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