「荒原之梦考研数学」文章 – 第 23 页

一、题目

$$
I = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} \ln ( \sin x ) \mathrm{~d} x = ?
$$

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每日箴言：一棵草也有一棵草的坚韧，一座山也有一座山柔软

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：NASA/Woody Hoburg

无论是一棵草，还是一座山，需要坚韧的时候自当义无反顾，而当坚持不住的时候，稍稍卸下沉重的盔甲，收起高举的箭矢，蜕变成一座柔软的山，亦不为过。

2024 年 09 月 23 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：国际空间站上的一名宇航员拍摄的阿拉巴马河（Alabama River）。
Credit: NASA/Woody Hoburg
拍摄时间：2023 年 06 月 26 日

一、题目

请求解下面式子的极限：

$$
\begin{aligned}
K_{1} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ a^{x} – x^{a}}{x-a} \\ \\
K_{2} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ x^{x} – a^{a} }{x-a} \\ \\
K_{3} & = \lim_{x \rightarrow a } \frac{\tan x – \tan a}{ x^{a} – a^{a} }
\end{aligned}
$$

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每日箴言：心怀感恩，就是善待自己

把感恩的“阈值”调低一些，不要处处和世界针锋相对，这是善待他人，也是善待自己。

2024 年 09 月 22 日

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描述：NASA 的欧罗巴快船号航天器（Europa Clipper）的太阳能电池板和天线完全展开后比一个标准足球场还要大一些，该航天器长约 30.5 米，宽约 17.6 米，其目标是探索被冰封的木星的卫星欧罗巴（木卫二）。
Credit: NASA/JPL-Caltech

给对数函数的变量“摘指数”的时候要注意指数的“作用范围”

一、题目

已知 $y(x)$ $=$ $x^{x^{x}}$, 则：

$$
y^{\prime}(x) = ?
$$

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每日箴言：未雨绸缪，方能从容不迫

未雨绸缪是一种思维方式，而思维方式很大程度上决定了一个人的过去、现在和未来。

2024 年 09 月 21 日

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描述：2024 年 03 月 20 日，一名穿着全身防护装备的“行星保护”工程师正在 NASA 喷气推进实验室的洁净室里仔细收集欧罗巴快船（Europa Clipper）号航天器的样本，以验证该航天器的生物清洁度，这样做是为了防止将地球上的微生物带去其目的地：木星的卫星欧罗巴，从而减少人类的探索活动对地外星体的污染。
Credit: NASA/JPL-Caltech

求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂

一、题目

已知 $y(x)$ $=$ $\sin^{3} x$ $+$ $\sin x \cos x$, 则：

$$
y^{(n)} = ?
$$

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每日箴言：在有限的时空中，突破时空的桎梏

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Lockheed Martin Space

人类在时空上是渺小的，但拥有梦想并努力实践，可以让我们有能力突破时空的桎梏，无论成败，我们始终只要记住：没有什么能阻挡你的梦想！

2024 年 09 月 20 日

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描述：NASA 的月球开拓者号（Lunar Trailblazer）轨道飞行器，2024 年 08 月拍摄于科罗拉多州利特尔顿的洛克希德·马丁航天公司。
Credit: Lockheed Martin Space

三角函数的三倍角公式

一、前言

三角函数的二倍角公式（$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\tan 2x$, $\cot 2x$）很常用，三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候，也是一个非常有用的工具。在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。

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每日箴言：不拖延是一种优秀的能力

尽快完成要做的事，而不是拖延和内耗，可以让我们每天都更有效率，减少无用功就是在做有用功。

2024 年 09 月 19 日

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描述：NASA 的毅力号火星车正在火星杰泽罗（Jezero）陨石坑的边缘向外爬升，这张图象由毅力号搭载的一个导航相机拍摄。毅力号在 2024 年 08 月 22 日、25 日和 26 日期间行驶了约 160 米的距离，爬升了约 35 米的高度。
Credit: NASA/JPL-Caltech

平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系

一、题目

请证明下面这个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 的极限存在，并求解其极限：

$$
\sqrt{2}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \quad \cdots
$$

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每日箴言：在没有风的日子里，起舞仍然有意义

没有风的时候，裙摆不会摇曳，树叶不会鼓掌，大地一片寂静。但是，没有风的时候，起舞仍然具有意义，这是一种默不作声的礼赞，沉静且非凡，当风到来的时候，将变得轻盈又绚烂。

2024 年 09 月 18 日

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描述：位于美国加利福尼亚州巴斯托附近的 Goldstone 太阳系雷达（该雷达属于深空探测网络的一部分）于 2024 年 09 月 16 日发现了这颗编号为 2024 ON 的花生形状的小行星，这颗小行星长约 350 米，在被发现的一天后从距离地球约 100 万公里处掠过，这个距离大约是月球与地球之间距离的 2.6 倍。
Credit: NASA/JPL-Caltech

乘法运算中的矩阵一般不可以“自由流动”，但单位矩阵可以

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且：

$$
\boldsymbol{A B} = \boldsymbol{E}
$$

则：

$$
\boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} \right)^{-1} \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{B} = ?
$$

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