一、题目
已知,函数 $f(x)$ $=$ $\sqrt{1+x+x^{2}}$ $-$ $\sqrt{1-x+x^{2}}$, 则 ( )
A. $f(x)$ 为奇函数
C. $f(x)$ 为无界函数
B. $f(x)$ 为偶函数
D. $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $1$
难度评级:
继续阅读“对于不是分式的式子一般不能直接“抓大头””已知,函数 $f(x)$ $=$ $\sqrt{1+x+x^{2}}$ $-$ $\sqrt{1-x+x^{2}}$, 则 ( )
A. $f(x)$ 为奇函数
C. $f(x)$ 为无界函数
B. $f(x)$ 为偶函数
D. $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $1$
难度评级:
继续阅读“对于不是分式的式子一般不能直接“抓大头””设函数 $f(x)$ $=$ $\cos (\sin x)$, $g(x)$ $=$ $\sin (\cos x)$, 则当 $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时,可以判断( )
A. $f(x)$ 单调增加,$g(x)$ 单调减少
C. $f(x)$ 与 $g(x)$ 都单调减少
B. $f(x)$ 单调减少,$g(x)$ 单调增加
D. $f(x)$ 与 $g(x)$ 都单调增加
难度评级:
继续阅读“利用单调函数的定义判断复合函数的单调性”在《快速判断函数奇偶性的方式汇总》这篇笔记中,我们涉及了复合运算对函数奇偶性的影响。在本文,荒原之梦考研数学将只从复合运算的角度,总结复合运算对单调性和奇偶性的影响,以供同学们参考。
继续阅读“复合运算对单调性和奇偶性的影响”$I$ $=$ $\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}$ $(2 x+3 y)^{2}$ $\mathrm{~d} \sigma$ $=$ $?$
难度评级:
继续阅读“利用奇偶性和对称性直接计算极坐标系下的二重积分”函数 $f(x)$ $=$ $|x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x}$, $x \in(-\infty, +\infty)$, 是 ( )
A. 单调函数
C. 有界函数
B. 周期函数
D. 偶函数
难度评级:
继续阅读“这道题目用荒原之梦考研数学的“单路径约束法”可以“秒解””已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶连续可导,且:
$$
\textcolor{white}{
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-f(x)}-1}{\int_{0}^{x} \ln \cos (x-t) \mathrm{~d} t}=-1
}
$$
则一下选项中,正确的是哪个?
(A) $x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点
(B) $x=0$ 为 $f(x)$ 的极大值点
(C) $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点,$(0, f(0))$ 也不是曲线 $y = f(x)$ 的拐点
(D) $(0, f(0))$ 为曲线 $y = f(x)$ 的拐点
难度评级:
继续阅读“你会用“逆向洛必达运算”解题吗?”已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{~d} z$ $=$ $\left(a y-x^{2}\right) \mathrm{~d} x$ $+$ $\left(a x-y^{2}\right) \mathrm{~d} y$, $(a>0)$ 则函数 $f(x, y)$
(A) 无极值点
(B) 点 $(a, a)$ 为极小值点
(C) 点 $(a, a)$ 为极大值点
(D) 是否有极值点与 $a$ 的取值有关
难度评级:
本题的难点在于从题目给出的全微分式子中确定一阶偏导函数的表达式。
荒原之梦考研网成立于 2017 年,那年的 6 月份,我把我的第一台电脑放在一把木头椅子上,完成了我的第一个域名的注册,此后,我便磕磕绊绊的开始了在网上更新学习笔记,在一片“荒原”之上构筑梦想的征途。
这个征途很辛苦,需要付出大量的时间和精力——撰写文章、修改调试 Web 程序、维护服务器以及思考这个小小的网站未来的发展方向和当下的发展方式。
但这个征途也很快乐,这份快乐来自撰写出满意的笔记所带来的满足感以及在获得大家的赞扬和肯定时的成就感,当然,还有被同学们找出错误,批评指正时的被重视的幸福感。
在 2021 年之前,荒原之梦考研网其实只有少部分考研数学的相关内容,主要内容还是我关于计算机方面的学习笔记和有关航天科技的译文。但在 2021 年的春天,我突然意识到,在这个日新月异,快速发展变化的时代,我写的这些内容,也许在十年、一年甚至一个月之后,就不再具有很大的实际价值了。
彼时,短视频也和今天一样如日中天,人们已经习惯了简短的快餐式资讯,很少有人会像此时此刻的你一样,认真得看这样一篇长长的文章。但也许是因为对新型信息传播方式的迟钝,我能想到的仍然是写文章——
不仅是写文章,还要写更专业的文章,写能够在十年、一百年甚至一千年之后仍然有用的文章。
于是,我就想到了撰写考研数学相关的解析笔记。
其实,我曾经最喜欢最擅长的学科并不是数学,而是物理,并曾作为学校代表参加过初中物理奥林匹克竞赛。所以,在北京时间的 2024 年 03 月 15 日上午 10 时 24 分之前,大家能看到的荒原之梦考研网的副标题还是下面这句话:
“提供数学和计算机科学及物理学领域的原创精品内容 | 筑梦为峰 凯歌以行”
而在当天的下午 17 点 17 分之前,荒原之梦考研网对自己的描述则是下面这样的,包含了大量我想要涉及的有关物理学的内容:
“荒原之梦网是一个专注于考研数学、高等数学、线性代数、概率统计、几何学、力学、电学、电磁学、光学等大学与中学阶段的数学和物理学,以及网络安全、操作系统、程序设计、电子硬件等计算机科学领域的原创知识型网站。”
但是,也就是在我修改上面这些内容的那天,我开始意识到,荒原之梦考研网已经逐渐成为了一个纯粹的考研数学网站,而我,也需要成为一个专注于这一领域的人——
一个人的一生可能会有很多梦想和想要做的事情,但是,人生的宝贵就在于,我们不可能实现所有的梦想,我们不可能尝试所有事情。同时,人生的价值也在于,如果我们可以用心的去做一件事,把这一件事做到极致,那么,这样的人生也便足够意义非凡。
据不完全统计,截至这封信发布时,荒原之梦考研数学网目前已有约 1099 篇和考研数学相关的各种题目解析与知识点解析笔记。
在撰写这些笔记的时候,我有时候也会想,其实市面上并不缺乏考研数学辅导资料和辅导课程,那么,我撰写的这些考研数学笔记和解析有什么优势呢?
可能会有很多成功学方面的书籍,用大量的篇幅和晦涩的理论,试图向我们传达和解释,要做好做成一件事,是很难很复杂的。在我一开始想要把荒原之梦考研网做成一个能够被大家喜爱和肯定的学习平台时,也曾担心和怀疑过自己是否有足够的能力以及恰当的机遇去实现这一目标,但当逐渐有同学通过评论、邮件和微信等给出支持,也逐渐有同学购买我倾注了很多时间和心血编撰制作的考研数学思维导图的时候,我才能够逐渐的肯定——做好做成一件事也许并不需要很多额外的“小心思”和“小技巧”,我们只要用心去把该做的做好,做到极致,就已经相当足够。
当然,所谓“把该做的做好”可能是最简单却又最严格的标准,荒原之梦考研网和我自己在现阶段都不能保证已经把该做的都做好了。所以,在未来,我会更努力的通过荒原之梦考研网这一平台,发布更多更有价值的原创考研数学学习笔记和独特视角的解析,让复杂的概念和题目变简单,努力帮助同学们更好更轻松的学习考研数学。
筑梦为峰,凯歌以行,希望已经开始准备考研或者计划考研的同学们,和荒原之梦考研网一起,在这个春天,续写一篇延续春夏秋冬的精彩故事,去自己想去的地方,让人生理想的光芒,更加大放异彩!
2024 年 04 月 17 日
荒原之梦考研数学 | 赵凯峰
有人说,四月是考研是否成功的分水岭,当然,也有人说,五月才是考研能否成功的分水岭。其实,哪有什么是一件事或者一个梦想的分水岭,只要我们坚持,就有成功的可能。没有什么是不可逾越的天堑,也没有什么是必然决定命运的分水岭。
荒原之梦考研数学 · 原创
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设 $f(x)$ $=$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{-x+x \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$, 则 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 ( )
(A) 可导的偶函数
(C) 连续但不可导的偶函数
(B) 可导的奇函数
(D) 连续但不可导的奇函数
难度评级:
继续阅读“变上限积分一定可导吗?”去呐喊,去奔跑,去呼吸,去触摸,去热爱,去热泪盈眶!
喊出你的梦想,在逐梦的道路上尽情奔跑,贪婪的呼吸每一天清晨的空气,细致的抚摸每一刻生活的纹理,去热爱自己和这个世界,尽情、尽心、尽力,用峥嵘的热泪,浇灌青春年华!
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骄傲得生长吧,因为你是如此绚丽多姿!
夜空如此琳琅璀璨,是因为每颗星辰都在闪烁光芒。在这天地宇宙之间,你的存在是如此重要、独特与美丽,所以,骄傲得,肆意得,昂扬得生长吧,每个人都是这世界的主角。
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$f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数, 且:
$g(x, y)$ $=$ $f(2 x+y, 3 x-y)$
$\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}$ $+$ $\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}$ $-$ $6 \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ $=$ $1$
(1) 求 $\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}$ 的值;
(2)若 $\frac{\partial f(u, 0)}{\partial u}$ $=$ $u \mathrm{e}^{-u}$, $f(0, v)$ $=$ $\frac{1}{50} v^{2}$ $-$ $1$, 求 $f(u, v)$.
难度评级:
继续阅读“2024年考研数二第20题解析:多元复合函数求偏导、一重定积分的计算”