一、题目
已知 $y=y(x)$ 满足方程 $2 y y^{\prime \prime}-y^{\prime 2}=1$ $(y>0)$, 且 $y(0)=1$, $y^{\prime}(0)=0$, 则 $y(x) = ?$
难度评级：
继续阅读“遇到不显含 $x$ 的微分方程先考虑降阶”月度归档： 2024 年 3 月
第一类曲线积分的物理意义及计算方法
一、前言 
第一类曲线积分的形式一般是：
$$
\int_{L} f(x, y) \mathrm{~d} s
$$
那么，如何从物理上理解这类曲线积分计算结果的含义呢？又应该怎么计算第一类曲线积分呢？在下文中，荒原之梦网将给出详细的解答。
继续阅读“第一类曲线积分的物理意义及计算方法”一个定积分可能存在多种形式的计算结果
一阶导存在，则原函数连续，二阶导存在，则一阶导连续
一、题目
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{2 x}, & x<0, \\ a x^{2}+b x+c, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 且 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, 则：$\begin{cases}
a = ? \\
b = ? \\
c = ?
\end{cases}$
难度评级：
继续阅读“一阶导存在，则原函数连续，二阶导存在，则一阶导连续”一点处导数的定义公式也适用于导数的导数（二阶导数）
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶可导，请证明：
$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2 f(a)}{h^{2}}=f^{\prime \prime}(a)
$$
难度评级：
继续阅读“一点处导数的定义公式也适用于导数的导数（二阶导数）”表达形式上不相同的导数值不一定不相等
一、题目
已知 $f(x)=|x-a| g(x)$, 其中函数 $g(x)$ 连续，请讨论一阶导函数 $f^{\prime}(a)$ 的存在性。
难度评级：
继续阅读“表达形式上不相同的导数值不一定不相等”一点处导数的表达式一致，但该点处的导数不一定存在
一、题目
一致 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{1+2^{\frac{1}{x}}}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$
请讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的可导性。
难度评级：
继续阅读“一点处导数的表达式一致，但该点处的导数不一定存在”在涉及数列的题目中，一定要注意该数列有多少项：并不是所有的数列都是 n 项
一、题目
已知 $a_{1}=1$, $a_{2}=2$, $3 a_{n+2}-4 a_{n+1}+a_{n}=0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.
则：$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“在涉及数列的题目中，一定要注意该数列有多少项：并不是所有的数列都是 n 项”两个相等的无穷小量的等价无穷小也相等
一、题目
已知 $\cos x-1$ $=$ $x \sin \alpha(x)$, 其中 $|\alpha(x)|<\frac{\pi}{2}$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $\alpha(x)$ 是 ( ).
A. 比 $x$ 高阶的无穷小
C. 与 $x$ 同阶但不等价的无穷小
B. 比 $x$ 低阶的无穷小
D. 与 $x$ 等价的无穷小
无穷小的阶数与无穷小量的系数无关
一、题目
已知，当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时, $\ln ^{\alpha}(1+2 x)$ 和 $(1-\cos x)^{\frac{1}{\alpha}}$ 均是比 $x$ 高阶的无穷小，则 $\alpha$ 的取值范围是多少？
难度评级：
继续阅读“无穷小的阶数与无穷小量的系数无关”连续函数的三点相等定律：连续点及连续点左右两侧的函数值相等
一、题目
已知函数 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0, \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $a b = ?$
难度评级：
继续阅读“连续函数的三点相等定律：连续点及连续点左右两侧的函数值相等”如果分母等于零的式子存在极限值，则分子也一定等于零
一、题目
已知：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+a x^{2}+b x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=1
$$
则 $a \ = \ ?$, $b \ = \ ?$
难度评级：
继续阅读“如果分母等于零的式子存在极限值，则分子也一定等于零”函数间断点，要么是无定义的点（分母为零），要么是分段函数的分段点
一、题目
已知函数：
$$
f(x)=\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)(x-2)}
$$
则该函数的第二类间断点的个数为 ( $\quad$ )
难度评级：
继续阅读“函数间断点，要么是无定义的点（分母为零），要么是分段函数的分段点”这个包含无穷多项的数列可以转换为定积分进行计算吗？
一、题目
已知：
$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+1}+\frac{2^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+n}\right)
\end{aligned}
$$
则：
$$
I \ = \ ?
$$
难度评级：
继续阅读“这个包含无穷多项的数列可以转换为定积分进行计算吗？”