月度归档： 2023 年 3 月

一、前言

首先说结论：无穷大量必为无界变量，但无界变量不一定是无穷大量。

在下文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将会对此给出一个通俗的解释。同时，还会以类比的方式，给出极限存在与不存在的一种判断方法。

一、题目

证明：

$$
(\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = ?
$$

难度评级：

一、前言

本文介绍了一种常用的无穷大量的比较公式，在解答一些涉及无穷大的比较的题目时，可以加快解题速度。

一、题目

下面的函数有无间断点，若有间断点，则分类讨论其间断点的类型：

$$
f(x) = \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}}
$$

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \Big[ \frac{1}{x} \Big] = ?
$$

其中，$\big[ \frac{1}{x} \big]$ 表示的是对 $\frac{1}{x}$ 进行取整的操作。

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2^{n}}{n!} = ?
$$

难度评级：

一、前言

常考的高阶导数一般都是有规律的，掌握下面这些高阶导数公式，可以让我们在求解涉及高阶导数的题目时更加灵活有效。

一、题目

已知：

$$
y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}
$$

求 $y^{\prime}$.

难度评级：

一、前言

熟练掌握本文中的基本极限，不仅可以提升解题速度，还可以增加对无穷量的理解，使得解题过程更加灵活。

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{1}{n^{2} + 1^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2^{2}} + \cdots + \frac{n}{n^{2} + n^{2}} \Big) = ?
$$

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} = ?
$$

其中 $a_{i}$ $>$ $0$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $m$ $)$.

难度评级：