证明 $(\arcsin x)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

一、题目题目 - 荒原之梦

证明:

$$
(\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

证明 $(\arcsin x)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 需要用到隐函数求导法。

由题知,$(\arcsin x)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$, 即:

$$
y^{\prime} = (\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
$$

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于是,令:

$$
y = \arcsin x
$$

则:

$$
\sin y = \sin (\arcsin x) \Rightarrow
$$

$$
\sin y = x \quad ①
$$

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在 $①$ 式两边同时对 $x$ 求导,得:

$$
(\cos y) \cdot y^{\prime} = 1 \Rightarrow
$$

在求导时一定要注意求导的变量是谁,而且同时在等式两边进行求导时,求导的变量必须是同一个,由于是对 $x$ 求导,因此,上面的式子不是 $\cos y$ $=$ $1$.

$$
y^{\prime} = \frac{1}{\cos y} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – \sin^{2} y}}
$$

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由 $①$ 知,$x$ $=$ $\sin y$, 于是:

$$
y^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}
$$

即:

$$
(\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
$$

综上可知,题目得证。


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