一、题目
$$
\int \frac{x \ln x + x \ln^{2} x}{2 + \ln x} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“找规律凑微分：$\int$ $\frac{x \ln x + x \ln^{2} x}{2 + \ln x}$ $\mathrm{d} x$”月度归档： 2023 年 3 月
三角函数凑微分搭配分部积分：$\int$ $\frac{1}{\cos^{3} x}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
本题在定积分上的一个应用示例：《当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时，也可以尝试使用极坐标系求解》
继续阅读“三角函数凑微分搭配分部积分：$\int$ $\frac{1}{\cos^{3} x}$ $\mathrm{d} x$”避坑指南：应用公式 $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\arctan \frac{x}{a}$ $+$ $C$ 时的注意要点
一、前言 
首先，大家看一看，下面的计算步骤是否正确：
$$
\int \frac{x^{2}}{1+2x^{2}} \mathrm{d} x =
$$
$$
\int \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{2x^{2}}{x^{2}}} \mathrm{d} x =
$$
$$
\int \frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + 2} \mathrm{d} x =
$$
$$
\int \frac{1}{(\sqrt{2})^{2} + (\frac{1}{x})^{2}} \mathrm{d} x = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\sqrt
2}{2 x} + C.
$$
继续阅读“避坑指南：应用公式 $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\arctan \frac{x}{a}$ $+$ $C$ 时的注意要点”本文中的 $C$ 表示任意常数。
巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos 2x}{\cos^{2} x (1+\sin^{2} x)}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{\cos 2x}{\cos^{2} x (1+\sin^{2} x)} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos 2x}{\cos^{2} x (1+\sin^{2} x)}$ $\mathrm{d} x$”求解全微分：$z$ $=$ $e^{\frac{y}{x}}$
遇到三角函数有理式，就用三角函数凑微分：$\int$ $\frac{\sin 2x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{\sin 2x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“遇到三角函数有理式，就用三角函数凑微分：$\int$ $\frac{\sin 2x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x}$ $\mathrm{d} x$”考研基本积分公式汇总
一个很“全”的题目：$\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\sqrt{x} (\sqrt[x]{x} – 1)$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \sqrt{x} (\sqrt[x]{x} – 1) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“一个很“全”的题目：$\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\sqrt{x} (\sqrt[x]{x} – 1)$”计算 $z$ $=$ $xy$ $+$ $\frac{x}{y}$ 的全微分
解决三角函数定积分的组合拳：区间再现与点火公式
一、题目
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin^{2} x \cos^{2} x \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“解决三角函数定积分的组合拳：区间再现与点火公式”有根号先去掉根号：$\int_{0}^{\pi^{2}}$ $\sqrt{x}$ $\cos \sqrt{x}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int_{0}^{\pi^{2}} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“有根号先去掉根号：$\int_{0}^{\pi^{2}}$ $\sqrt{x}$ $\cos \sqrt{x}$ $\mathrm{d} x$”化繁为简：以 $\int_{1}^{2}$ $(x-1)^{2}$ $(x-2)^{2}$ $\mathrm{d} t$ 为例
一、题目
$$
\int_{1}^{2} (x-1)^{2} (x-2)^{2} \mathrm{d} t =
$$
难度评级：
继续阅读“化繁为简：以 $\int_{1}^{2}$ $(x-1)^{2}$ $(x-2)^{2}$ $\mathrm{d} t$ 为例”对称区间上的定积分除了考虑利用奇偶性，还可以考虑用“区间再现”哦
“区间再现”之于定积分，就如同“洛必达”之于极限：适用性很强！
一、题目
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读““区间再现”之于定积分，就如同“洛必达”之于极限：适用性很强！”用三角代换、几何意义和区间再现三种方法解一道定积分题目
一、题目
$$
\int_{0}^{2} x \sqrt{2x – x^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$
本文的题目解析中提供了三种不同角度的解法。
难度评级：
继续阅读“用三角代换、几何意义和区间再现三种方法解一道定积分题目”