无穷大量与无界变量之间的关系

一、前言 前言 - 荒原之梦

首先说结论:无穷大量必为无界变量,但无界变量不一定是无穷大量。

在下文中,荒原之梦网(zhaokaifeng.com)将会对此给出一个通俗的解释。同时,还会以类比的方式,给出极限存在与不存在的一种判断方法。

二、正文 正文 - 荒原之梦

根据定义,只有所有分量均为无穷大量的无界变量才是无穷大量,否则,只要有一个分量不是无穷大量,就只能算是一个无界变量。

例如,下面这个数列就是一个无界变量,而不是一个无穷变量,因为当 $n$ 为偶数时,该数列的分量不是一个无穷大量:

$$
x_{n} = \left\{\begin{matrix}
2n, & n 为奇数,\\
2, & n 为偶数.
\end{matrix}\right.
$$

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同样的,对于极限是否存在的判断,我们也有类似的标准:只有所有分量的极限都存在且相等,整体的极限才会存在。

例如,若 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $x_{2n}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $x_{2n + 1}$ $=$ $a$, 则可以说明:

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n} = a.
$$

但如果 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $x_{3n}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $x_{3n + 1}$ $=$ $a$, 则不可以说明:

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n} = a.
$$

因为还可能存在分量 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $3n + 2$ $\neq$ $a$.

注意:无论是对于数列,亦或是函数而言,上面的结论都是成立的。


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