月度归档： 2021 年 12 月

题目

已知函数 $f(x,y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial y} =$ $2(y+1)$, 且 $f(y,y) =$ $(y+1)^{2}-$ $(2-y) \ln y$, 求曲线 $f(x,y)=0$ 所围图形绕直线 $y=-1$ 旋转所成旋转体的体积.

继续阅读“2014年考研数二第21题解析：旋转体的体积、偏导数”

题目

设函数 $f(x)=$ $\frac{x}{1+x}$, $x \in [0,1]$, 定义数列：

$$
f_{1}(x) = f(x),
$$

$$
f_{2}(x) = f[f_{1}(x)],
$$

$$
\cdot \cdot \cdot,
$$

$$
f_{n}(x) = f[f_{n-1}(x)],
$$

$$
\cdot \cdot \cdot
$$

记 $S_{n}$ 是曲线 $y=f_{n}(x)$, 直线 $x=1$ 及 $x$ 轴所围平面图形的面积，求极限 $\lim_{n \rightarrow \infty} n S_{n}$.

继续阅读“2014年考研数二第20题解析：极限、数列、数学归纳法”

题目

设 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(x)$ 单调增加，$0 \leqslant g(x) \leqslant 1$, 证明：

$(Ⅰ)$ $0 \leqslant \int_{a}^{x} g(t) dt$ $\leqslant x-a$, $x \in [a,b]$;

$(Ⅱ)$ $\int_{a}^{a+\int_{a}^{b}g(t) dt} f(x) dx$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx$.

继续阅读“2014年考研数二第19题解析：变上限积分、函数的单调性、积分中值定理”

题目

设函数 $f(u)$ 二阶连续可导，$z=f(e^{x} \cos y)$ 满足 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}}$ $=(4z + e^{x} \cos y)e^{2x}$, 若 $f(0)=0$, $f^{‘}(0)=0$, 求 $f(u)$ 的表达式.

继续阅读“2014年考研数二第18题解析：偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程”

题目

设平面区域 $D=$ $\{(x,y)|$ $1 \leqslant x^{2} + y^{2} \leqslant 4$, $x \geqslant 0$, $y \geqslant 0 \}$, 计算：

$$
\iint_{D} \frac{x \sin (\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}})}{x+y} dxdy.
$$

解析

根据题目可知，积分区域 $D$ 是由两个圆心坐标均为 $(0,0)$, 半径分别为 $1$ 和 $2$ 的两个同心圆在直角坐标系的第一象限中围成的，如图 01 所示：

继续阅读“2014年考研数二第17题解析：二重积分、极坐标系”

题目

已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $x^{2}+y^{2}y^{‘} = 1-y^{‘}$, 且 $y(2)=0$, 求 $y=y(x)$ 的极大值与极小值.

继续阅读“2014年考研数二第16题解析：一阶线性微分方程求极值、求导”

题目

求极限：

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ \int_{1}^{x}[t^{2}(e^{\frac{1}{t}}-1)-t] dt }{x^{2} \ln (1+\frac{1}{x})}.
$$

继续阅读“2014年考研数二第15题解析：极限、等价无穷小、麦克劳林公式”

题目

设曲线 $L$ 的方程为 $y=\frac{1}{4} x^{2} – \frac{1}{2} \ln x$ $(1 \leqslant x \leqslant e)$.

$(Ⅰ)$ 求 $L$ 的弧长；

$(Ⅱ)$ 设 $D$ 是由曲线 $L$, 直线 $x=1$, $x=e$ 及 $x$ 轴所围平面图形，求 $D$ 的形心的横坐标.

继续阅读“2013年考研数二第21题解析：平面曲线的弧长、平面图形的形心”

$x \ln x$ 的原函数是 $\frac{1}{2} x^{2} \ln x – \frac{1}{4} x^{2} + C$, 即：

$$
\int x \ln x dx = \frac{1}{2} x^{2} \ln x – \frac{1}{4} x^{2} + C, 其中 C 为任意常数。
$$

继续阅读“$x \ln x$的原函数是多少？”

$\ln x$ 的原函数是 $x \ln x – x + C$, 即：

$$
\int \ln x dx = x \ln x – x + C, 其中 C 为任意常数。
$$

继续阅读“$\ln x$的原函数是多少？”

题目

设函数 $f(x)=\ln x + \frac{1}{x}$.

$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 的最小值；

$(Ⅱ)$ 设数列 ${x_{n}}$ 满足 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}<1$. 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。

继续阅读“2013年考研数二第20题解析：导数与最值、数列极限的判定与求解”