一、前言 
凑微分是进行积分运算的一个常用方法，但是，对于一些复杂的式子，我们可能难以一眼就看出应该怎么“凑”，这时候该怎么办呢？
继续阅读“凑微分，分步凑”分类： 考研数学
2019年考研数二第21题解析：拉格朗日中值定理、罗尔定理、费马引理、积分的几何意义、反证法（5种解法+18幅图）
一、题目
已知函数 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有 $2$ 阶导数，且 $f(0) = 0$, $f(1) = 1$, $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x = 1$, 证明：
(I) 存在 $\xi \in (0, 1)$, 使得 $f^{\prime}(\xi) = 0$;
(Ⅱ) 存在 $\eta \in (0, 1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\eta) < -2$.
难度评级：
继续阅读“2019年考研数二第21题解析：拉格朗日中值定理、罗尔定理、费马引理、积分的几何意义、反证法（5种解法+18幅图）”求复合函数偏导数的两种方式：先求导再代换、先代换再求导
一、题目
已知函数 $f \left( u, v \right)$ 满足 $f \left( x + y, \frac{y}{x} \right) = x^{2} – y^{2}$，则：
$$
\begin{aligned}
& \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ? \\ \\
& \left. \frac{\partial f}{\partial v} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ?
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“求复合函数偏导数的两种方式：先求导再代换、先代换再求导”极限运算中的高阶无穷小 $o(x^{n})$ 该怎么参与运算？
一、题目
$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1 – x-\frac{x}{2} \sin x}{\sin x – x \cos x}
$$
计算质点和非质点之间引力的方法：微元法
一、题目
如图 01 所示，$X$ 轴上有一个线密度为常数 $\mu$, 长度为 $l$ 的细杆 $\bar{L}$，若质量为 $m$ 的质点 $\dot{M}$ 到细杆右端的距离为 $a$, 且引力系数为 $k$, 则质点 $\dot{M}$ 和细杆 $\bar{L}$ 之间引力的大小 $F$ 可表示为什么？
曲线与 X 轴所围图形的面积怎么算？积分+绝对值
在极限计算中使用反常积分的上下限时，一定要注意区分左右
一、题目
判断下面反常积分的敛散性：
$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int_{− \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} & = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm {e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
峰式田字格：确定变量含有绝对值的分段函数的复合运算要分几段计算
一、前言
在「荒原之梦考研数学」的《田字格分段函数融合法》这篇文章中，我们初步掌握了基于“田字格”这一工具确定涉及分段函数的计算时应该分几段考虑的问题。
在本文中，我将继续拓展“田字格”这一工具，在自变量含有绝对值运算的题目中，给同学们讲解一下如何使用“田字格”确定应该分几段计算含有分段函数的相关问题。
继续阅读“峰式田字格：确定变量含有绝对值的分段函数的复合运算要分几段计算”用定积分的定义计算数列和时怎么确定积分上下限？
一、题目
$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2}} \\ \\
I_{2} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2} \cdots \textcolor{orange}{ \left(1 + \frac{2n}{n} \right)^{2} } } \\ \\
\end{aligned}
$$
定积分比大小的时候，一定要关注积分上下限的相对大小
一、题目
使不等式 $\int _ { 1 } ^ { x } \frac { \sin t } { t } \mathrm { ~ d } t > \ln x$ 成立的 $x$ 的取值范围是多少？
你知道“一阶导等于零的点一定是驻点”这句话隐含了什么条件吗？
一、题目
函数 $f(x)$ $=$ $\ln|(x-1)(x-2)(x-3)|$ 有多少个驻点？
»A« $3$.
»B« $2$.
»C« $1$.
»D« $0$.
在无穷意义上扩展的罗尔定理及其证明和应用
一、前言
罗尔定理是高等数学和考研数学中一个基础且重要的定理，「荒原之梦考研数学」也使用一种非常直观的方式证明了罗尔定理。但是，我们在做题的时候就会发现，仅仅使用传统意义上的罗尔定理，有时候并不能非常好的完成解题，也就是说，罗尔定理需要“进化”。
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过在无穷意义上对罗尔定理的扩展，为同学们提供另一个解题视角。
继续阅读“在无穷意义上扩展的罗尔定理及其证明和应用”沿坐标轴方向上的平移变换不会改变驻点在函数图像上的绝对位置
一、前言
本文要阐述的是一个非常直观的结论，那就是“沿着直角坐标系中 $X$ 轴或者 $Y$ 轴方向上的平移变换，并不会改变驻点在函数中的绝对位置”。
这一结论成立的原因在于，只要我们不对直线做旋转操作，只是沿着水平或者垂直方向上对水平直线的移动并不会导致水平直线变得不水平（水平直线在平面上的斜向运动可以拆分为水平方向与垂直方向上的运动）。
二、正文 
接下来，「荒原之梦考研数学」将通过一个直观的示意图，解释清楚“平移变换不会改变函数中一个点是不是驻点”这一性质：
如图 01 所示，蓝色曲线是函数 $\textcolor{#6D9EEB}{\mathrm{Z} (x) }$ $=$ $- \left( x+2 \right)^{2} – 1$ 的函数图象，绿色曲线是函数 $\textcolor{#6AA84F}{\mathrm{K} (x)}$ $=$ $- x^{2} + 2$ 的函数图象，橙色曲线是函数 $\textcolor{#E69138}{\mathrm{F} (x)}$ $=$ $- \left( x-2 \right)^{2} + 3$ 的函数图象，且 $\mathrm{Z}(a_{2}) = \mathrm{Z}(b_{2})$, $\mathrm{K}(a_{0}) = \mathrm{K}(b_{0})$, $\mathrm{F}(a_{1}) = \mathrm{F}(b_{1})$:
可以看到，无论是将函数 $\mathrm{Z}(x)$ 沿着坐标系的 $X$ 轴和 $Y$ 轴方向平移到函数 $\mathrm{K}(x)$ 的位置，还是将函数 $\mathrm{F}(x)$ 沿着坐标系的 $X$ 轴和 $Y$ 轴方向平移到函数 $\mathrm{K}(x)$ 的位置，都不会改变驻点 $c_{2}$ 或 $c_{1}$ 在函数中的绝对位置。
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
罗尔定理的本质：基于圆形的几何逻辑证明罗尔定理
一、前言
罗尔定理是微分学中的一个非常重要的定理，也是引出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。但是，对罗尔定理的传统证明方法并不能非常直观的反映出罗尔定理的性质（不过，本文中仍然会给出基于传统数学方法的罗尔定理证明），所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一种原创的方式，通过一个非常自然的过程，证明罗尔定理，因为我相信——
只 要 是 正 确 的 数 学 定 理 ，都 具 有 不 证 自 明 的 性 质 ，只 是 需 要 我 们 更 换 一 下 观 察 和 思 考 的 角 度 。
继续阅读“罗尔定理的本质：基于圆形的几何逻辑证明罗尔定理”用汽车的加速度理解导数的存在性（一点处的可导性）
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过汽车在公路上行驶时的加速和减速过程，来帮助同学们理解函数在一点处的可导性，或者说函数在一点处导数的存在性。
继续阅读“用汽车的加速度理解导数的存在性（一点处的可导性）”