考研数学中需要注意的三种特殊的函数

一、前言 前言 - 荒原之梦

在高等数学(考研数学)中,我们为了判断某些题目,可能需要举一些反例,而在本文中,「荒原之梦考研数学」就给同学们带来三种比较特殊的函数,这些函数也是我们在寻找反例的时候,很容易用上的工具。

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平均值不等式的详细证明过程

一、前言 前言 - 荒原之梦

已知 x1, x2, , xnn 个非负实数,则其几何平均值 x1×x2××xnn 一定小于或等于其算术平均值 x1+x2++xnn, 即:

x1×x2××xnnx1+x2++xnn x1x2xnnx1+x2++xnn

在本文中,「荒原之梦考研数学」将使用数学归纳法和递推法两种方法为同学们证明上述不等式。

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证明:数字的平均值相乘一定不小于每个数字相乘——小数字在乘法中对大数字的“牵制”程度比减法中严重

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过数字在乘法和减法中“牵制”能力的区别,简易地证明下式(数字的平均值相乘大于或等于每个数字相乘):

(x1+x2++xnn)nx1×x2××xn

为了更便于理解,同学们可以将本文中的“牵制”理解为“拖累”——小数字对大数字的“拖累”效果在乘法中比在减法中变现更突出。

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幂指函数的求导策略:什么时候用“e 抬起”?什么时候用“ln 落下”?

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过计算下面三个式子的导数 dydx 的方式,给同学们讲清楚在对幂指函数求导时,什么时候用“e 抬起”,什么时候用“ln 落下”:

y= xsinxy= xcosx+xxy= xcosxxsinx

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对等式等号两边同时做操作的时候要注意“对等原则”

一、前言 前言 - 荒原之梦

在做题的时候,我们可能需要借助同时在等式的等号两边做某种操作的方式对原式进行变形处理,例如对等号两边同时取对数、同时求导、同时取倒数、同时乘以或者除以某个量等。

但是,在做这些操作的时候,我们必须要注意“对等原则”。所谓“对等原则”,就是等号两边无论各自有多少组成部分,都要以等号为界,分为两个整体,做任何操作,都要以这两个整体为基本单位进行。

接下来,「荒原之梦考研数学」将通过一些实际的例子,给同学们讲清楚这个计算过程中的易错点。

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关于 y = x 对称的二元函数的二阶偏导数也关于 y = x 对称

一、题目题目 - 荒原之梦

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考研数学常用积分之:含有 ax + b 的积分

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,「荒原之梦考研数学」将为同学们总结整理被积函数中含有 “ax + b” 以及相关变形形式的积分,这些不是基础的积分公式,也不是一般的习题,但可以作为同学们对积分解题方法的积累。

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考研数学常用的泰勒公式(麦克劳林公式)汇总

一、前言 前言 - 荒原之梦

泰勒公式有很多用处,例如求解函数的 n 阶导。如果大家想要掌握泰勒展开式的整体计算公式,可以查阅「荒原之梦考研数学」的《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》这篇文章。在本文中,「荒原之梦考研数学」将为同学们提供考研数学中常见的一些在 x0 = 0 处的泰勒展开式,或者说常见的麦克劳林公式。

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非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时,相加所得的向量也是该方程的解

一、题目题目 - 荒原之梦

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不同的数字相减一定不得零,但相加就不一定了

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