一、题目
若 $f(x)$ $+$ $\sin ^{6} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} f(3x) \mathrm{~d} x$, 则：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“这道题为啥要设 t=3x 而不是 t=2x ?”这道题为啥要设 t=3x 而不是 t=2x ?
一、题目
分类： 考研数学
2022考研数二第04题解析：二元偏导数、变上限积分求导
一、题目
设函数 $f(t)$ 连续，令 $F(x, y)$ $=$ $\int_{0}^ {x-y}(x-y-t) f(t)\mathrm {~d} t$, 则（ ）
A. $\frac { \partial F } { \partial x }$ $=$ $\frac { \partial F } { \partial y }$, $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } }$ $=$ $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } }$
B. $\frac { \partial F } { \partial x }$ $=$ $\frac { \partial F } { \partial y }$, $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } }$ $=$ $- \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } }$
C. $\frac { \partial F } { \partial x }$ $=$ $- \frac { \partial F } { \partial y }$, $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } }$ $=$ $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } }$
D. $\frac { \partial F } { \partial x }$ $=$ $- \frac { \partial F } { \partial y }$, $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } }$ $=$ $- \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } }$
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继续阅读“2022考研数二第04题解析：二元偏导数、变上限积分求导”2022考研数二第03题解析：邻域内函数单调性与凹凸性的判断
一、题目
设函数 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处有 $2$ 阶导数，则：
[A]. 当 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加时，$f^{\prime} \left( x _{ 0 } \right)$ $>$ $0$
[B]. 当 $f^{\prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$ 时，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加
[C]. 当 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数时，$f^{\prime \prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$
[D]. 当 $f^{\prime \prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$, $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数
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继续阅读“2022考研数二第03题解析：邻域内函数单调性与凹凸性的判断”矩阵起源于方程组，因此也可以借助方程组的思想解题
一、题目
已知矩阵 $\boldsymbol{K}$ $=$ $\boldsymbol{A K}$ $+$ $\boldsymbol{B}$, 且：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
– 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{bmatrix}
1 & – 1 \\
2 & 0 \\
3 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
则 $\boldsymbol{K}$ $=$ $?$
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继续阅读“矩阵起源于方程组，因此也可以借助方程组的思想解题”如何确定行列式展开式中有效项的个数？
一、题目
$$
\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
a & 0 & b & 0 \\
0 & c & 0 & d \\
e & 0 & f & 0 \\
0 & g & 0 & h
\end{vmatrix} = ?
$$
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继续阅读“如何确定行列式展开式中有效项的个数？”2022考研数二第02题解析：更改积分次序、定积分中的变量替换
一、题目
$$
\int _{ 0 } ^ { 2 } \mathrm { ~ d } y \int _{ y } ^ { 2 } \frac { y } { \sqrt { 1 + x ^ { 3 } } } \mathrm{~d} x = ?
$$
A. $\frac { \sqrt { 2 } } { 6 }$
B. $\frac { 1 } { 3 }$
C. $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$
D. $\frac{2}{3}$
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继续阅读“2022考研数二第02题解析：更改积分次序、定积分中的变量替换”2022考研数二第01题解析：等价无穷小相减会产生更高阶的无穷小，反之也成立
一、题目
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha ( x )$, $\beta ( x )$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题：
① 若 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$, 则 $\alpha ^ { 2 } ( x )$ $\sim$ $\beta ^ { 2 } ( x )$;
② 若 $\alpha ^ { 2 } ( x )$ $\sim$ $\beta ^ { 2 } ( x )$, 则 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$;
③ 若 $\alpha ( x ) \sim \beta ( x )$, 则 $\alpha ( x )$ $-$ $\beta ( x )$ $=$ $o ( \alpha ( x ) )$;
④ 若 $\alpha ( x ) – \beta ( x )$ $=$ $o ( \alpha ( x ) )$, 则 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$.
其中所有真命题的序号是（ ）
(A) ① ③
(B) ① ④
(C) ① ③ ④
(D) ② ③ ④
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继续阅读“2022考研数二第01题解析：等价无穷小相减会产生更高阶的无穷小，反之也成立”积分一定能改变函数的奇偶性吗？
一、题目
已知 $f ( x )$ 是连续函数， $F ( x )$ 是 $f ( x )$ 的原函数，则以下说法中正确的是哪个？
[A]. 若 $f ( x )$ 是偶函数，则 $F ( x )$ 必是奇函数
[B]. 若 $f ( x )$ 是奇函数，则 $F ( x )$ 必是偶函数
[C]. 若 $f ( x )$ 是周期函数，则$F ( x )$ 必是周期函数
[D]. 若 $f ( x )$ 是单调增函数，则 $F ( x )$ 必是单调增函数
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继续阅读“积分一定能改变函数的奇偶性吗？”看准题目所给条件，可以降低发生低级错误的可能性
一、题目
已知 $\boldsymbol{A} ^ { – 1 } = \left[ \begin{array} { c c c } 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right]$, 则：
$$
\begin{aligned}
\left( 3 \boldsymbol{A} ^ {*} \right) ^ { – 1 } & = ? \\
\left( 2 \boldsymbol {A} \right) ^ {*} & = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“看准题目所给条件，可以降低发生低级错误的可能性”如何确定行列式展开计算公式中每一项的正负？
一、前言 
在荒原之梦考研数学的《行列式的定义式（计算公式）该怎么理解？》这篇文章中，我们理解了如下这个行列式的计算公式中每一项的具体含义：
$$
\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{m}\end{matrix}\right| =
\textcolor{yellow}{\sum _{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}} \textcolor{springgreen}{\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)}} \textcolor{pink}{a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}}
$$
这个计算公式是一个标准的计算公式，因为其中表示行列式行数的 “$a_{1}$, $a_{2}$, $\cdots$, $a_{n}$” 是顺序排列的，那么，如果组成行列式展开式中的项的元素不是顺序排列相乘的，该怎么确定这个项的正负呢？
在本文中，荒原之梦考研数学就带大家一探究竟。
继续阅读“如何确定行列式展开计算公式中每一项的正负？”行列式的定义式（计算公式）该怎么理解？
一、前言
我们知道，$n$ 阶行列式的定义公式如下，同时，下面的公式也是计算 $n$ 阶行列式的通用公式：
$$
\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{m} \end{matrix}\right| =
\textcolor{yellow}{\sum _{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}} \textcolor{springgreen}{\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)}} \textcolor{pink}{a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}}
$$
那么，如何理解上面这个公式呢？
在本文中，荒原之梦考研数学将通过一点点的拆解剖析和例题，为同学们讲明白这个知识点。
继续阅读“行列式的定义式（计算公式）该怎么理解？”用“俄罗斯方块”理解两矩阵相乘得零矩阵所蕴含的规律
一、前言
如果已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$, 以及 $n$ 阶零矩阵 $\boldsymbol{O}$, 且下式成立：
$$
\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O}
$$
那么，我们能判断出来有关矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的哪些性质呢？
在本文中，荒原之梦考研数学将借助类似“俄罗斯方块”游戏中的元素，为同学们解释清楚这个问题。
继续阅读“用“俄罗斯方块”理解两矩阵相乘得零矩阵所蕴含的规律”当行列式中非零元素的个数小于行数或列数的时候，该行列式一定等于零
一、题目
已知，$6$ 阶行列式 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ 中含有 $31$ 个零元素，则下面说法正确的是哪个？
[A]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $>$ $0$
[B]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $=$ $0$
[C]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $<$ $0$
[D]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $\leqslant$ $0$
难度评级：
继续阅读“当行列式中非零元素的个数小于行数或列数的时候，该行列式一定等于零”n阶行列式的展开项有n!个
一、前言
一个 $n$ 阶行列式的展开式有多少项？在本文中，荒原之梦考研数学就通过实际计算和演示推理，给同学们讲明白，为什么 $n$ 阶行列式的展开式中有 $n!$ 个项。
继续阅读“n阶行列式的展开项有n!个”有界一定不发散，但有界不一定收敛
一、题目
设数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 与 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 满足 $\lim _{ n \rightarrow \infty } \left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ $=$ $0$, 则下列说法正确的是哪个？
(A) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 发散，则 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 必发散
(B) 若 $\frac{1}{x _{ n }}$ 为无穷小量，则 $y _{ n }$ 必为无穷小量
(C) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 有界，则 $y _{ n }$ 必为无穷小量
(D) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 无界，则 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 必有界
难度评级：
继续阅读“有界一定不发散，但有界不一定收敛”