考研数学 – 第 94 页

一、题目

已知，$f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)$ $=$ $x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$, 其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x= 1$ 所围区域，则 $f(x, y)=?$

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一、题目

已知，函数 $f (x)$ 在区间 $[ 0, +\infty )$ 上可导，且其反函数为 $g (x)$, 并有：

$$
\int_{0}^{ f(x) } g (t) \mathrm{~d} t + \int_{0}^{x} f (t) \mathrm{~d} t = x^{2} \mathrm{e}^{x}
$$

则：

$$
f (x) = ?
$$

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二、解析

首先，在 $\int_{0}^{ f(x) } g (t) \mathrm{~d} t$ $+$ $\int_{0}^{x} f (t) \mathrm{~d} t$ $=$ $x^{2} \mathrm{e}^{x}$ 的两端对 $x$ 求导，去除积分符号：

$$
\textcolor{orange}{
f^{\prime}(x) g(f(x)) + f(x) = \left( 2x + x^{2} \right) \mathrm{e}^{x}
} \tag{1}
$$

由于 $g (x)$ 为 $f (x)$ 在 $[ 0, + \infty )$ 区间上的反函数，根据反函数的性质，可知：

$$
\textcolor{orange}{
g (f(x)) = \textcolor{magenta}{x}
} \tag{2}
$$

将上面的 $(2)$ 式代入 $(1)$ 式，可得：

$$
\textcolor{yellow}{
\textcolor{magenta}{x} f ^ { \prime } ( x ) + f ( x ) = \left( 2 x + x ^ { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { x }
} \tag{3}
$$

接着，由上面的 $(3)$ 式，可得：

$$
\begin{aligned}
& x f ^{\prime} (x) – f(x) = \left( 2 x + x^{2} \right) \mathrm{e}^{x} \\ \\
\Rightarrow & ( xf(x) )^{\prime} = \left( 2 x + x^{2} \right) \mathrm{e}^{x} \\ \\
\Rightarrow & x f(x) = \int \left( 2 x + x^{2} \right) \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x + C \\ \\
\Rightarrow & x f(x) = x ^{2} \mathrm{e} ^{x} + C \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{orange}{f(x) = x \mathrm{e} ^{x} + \frac{C}{x} }
\end{aligned}
$$

接着，将 $x = 0$ 代入 $(3)$ 式，可得：

$$
\textcolor{orange}{
f (0) = 0
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\textcolor{orange}{f(x) = x \mathrm{e} ^{x} + \frac{\textcolor{magenta}{C}}{x}} \\
\textcolor{orange}{f(0) = 0}
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{magenta}{C} = 0 \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ f(x) = x \mathrm{e} ^{x} }}
\end{aligned}
$$

高等数学

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线性代数

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特别专题

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反函数的性质汇总

一、前言

在《求解反函数的导数，你真的会吗？（首先需要知道什么是反函数）》这篇文章中，我们掌握了什么是反函数，以及反函数求导的方法。

那么，反函数都有着怎样的性质呢？在这篇文章中，就让我们一探究竟。

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求解反函数的导数，你真的会吗？（首先需要知道什么是反函数）

一、前言

我们知道，函数的导数等于其对应的反函数导数的倒数，即：

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}}
$$

但是，你真的会利用上面的性质计算反函数的导数吗？

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相关文章：《反函数的性质汇总》

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对于无法凑项消去的反常积分可以尝试倒数代换或者三角代换

一、题目

$$
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)} \mathrm{~ d} x = ?
$$

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解题的时候一定要穷尽所有可能的答案

一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 不等价，则 $a=?$

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一、题目

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[1]. 求 $A$;

[2]. 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$.

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