一、题目
已知，函数 $f(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 且满足方程 $f(t)=t^{2}+\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 则 $f(t)=?$
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继续阅读“有些解微分方程的题目需要先「求导」”分类： 考研数学
这个「反直觉」的微分方程你会解吗？
一、题目
把 $x^{2}$ 看成 $y$ 的函数,求解微分方程 $\left(y^{4}-3 x^{2}\right) \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} x=0$, 则该方程的通解是（ ）
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继续阅读“这个「反直觉」的微分方程你会解吗？”一阶线性微分方程和极值结合的题目
一、题目
已知，函数 $f(x)$ 满足 $x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-4 x$, 且由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 以及 $x$ 轴可围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 $f(x)=?$
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继续阅读“一阶线性微分方程和极值结合的题目”看上去像可分离变量的微分方程但“分不开”的时候，很可能就是齐次微分方程
一、题目
方程 $\left(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 满足条件 $y(1)=0$ 的特解为
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继续阅读“看上去像可分离变量的微分方程但“分不开”的时候，很可能就是齐次微分方程”如何根据微分方程的特解找出通解，进而还原这个微分方程？
一、题目
已知 $y_{1}=\cos 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$, $y_{2}=\sin 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$ 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的两个解, $y_{3}=\cos 2 x$ 是它所对应的齐次方程的一个解，则该微分方程是？
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继续阅读“如何根据微分方程的特解找出通解，进而还原这个微分方程？”遇到不能用公式的二阶微分方程怎么办：先尝试降为一阶微分方程
一、题目
$x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x \sin \frac{y^{\prime}}{x}$ 的通解是（ ）
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继续阅读“遇到不能用公式的二阶微分方程怎么办：先尝试降为一阶微分方程”被积函数中的根式中没有平方项不能用三角代换怎么办：整体代换
一、题目
$$
I=\int_{-1}^{0} \frac{\ln (1+x)}{\sqrt[3]{1+x}} \mathrm{~d} x = ?
$$
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二、解析 
令：
$$
\textcolor{springgreen}{
t=\sqrt[3]{1+x}
}
$$
于是：
$$
t^{3}=1+x, \ x=t^{3}-1
$$
$$
\mathrm{~ d} x=3 t^{2} \mathrm{~ d} t, \quad \ln (1+x)=\ln \left(t^{3}\right)
$$
$$
x \in(-1,0) \Rightarrow \mathrm{~ d} t \in(0,1)
$$
于是：
$$
I=\int_{0}^{1} \frac{\ln \left(t^{3}\right)}{t} 3 t^{2} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=3 \int_{0}^{1} t \ln \left(t^{3}\right) \mathrm{~ d} t=
$$
吸收合并，为分部积分做准备：
$$
\frac{3}{2} \int_{0}^{1} \ln \left(t^{3}\right) \mathrm{~ d} \left(t^{2}\right) =
$$
分部积分：
$$
\left.\frac{3}{2} t^{2} \ln \left(t^{3}\right)\right|_{0} ^{1}-\frac{3}{2} \int_{0}^{1} t^{2} \cdot \frac{3 t^{2}}{t^{3}} \mathrm{~ d} t =
$$
由于指数函数 $t^{2}$ 的增长率远大于对数函数 $\ln (t^{3})$, 因此，当 $t \rightarrow 0$ 时，$t^{2}$ 是 $\ln (t^{3})$ 的高阶无穷小，即 $\lim_{x \rightarrow 0} t^{2} \ln (t^{3}) = 0$:
$$
\frac{2}{3} \cdot 0-\frac{9}{2} \int_{0}^{1} t \mathrm{~ d} t=-\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2}=-\frac{9}{4}
$$
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在计算无穷限积分的时候，要注意应用极限的思想
一、题目
$$
I=\int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“在计算无穷限积分的时候，要注意应用极限的思想”对于含有反三角函数的积分可以用对应的三角函数代换求解
一、题目
$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{5 / 2}} \mathrm{~d} x=?
$$
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继续阅读“对于含有反三角函数的积分可以用对应的三角函数代换求解”如何通过通解还原微分方程？
一、题目
已知 $C_{1}, C_{2}$ 是两个任意常数, 则函数 $y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}-2 x \mathrm{e}^{-x}$ 满足的一个微分方程是：
(A) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=6 \mathrm{e}^{-x}$
(B) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=6 \mathrm{e}^{-x}$
(C) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$
(D) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$
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继续阅读“如何通过通解还原微分方程？”判断微分方程解的形式有时候需要分类讨论
一、题目
已知方程 $y^{\prime \prime}+q y=0$ 存在当 $x \rightarrow+\infty$ 时趋于零的非零解, 则：
(A) $q>0$
(B) $q \geqslant 0$
(C) $q<0$
(D) $q \leqslant 0$
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继续阅读“判断微分方程解的形式有时候需要分类讨论”求旋转体的体积，但是不会画函数图像怎么办？
一、题目
由曲线 $y=\operatorname{ch} x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 及三条直线 $x=-1$, $x=1$, $y=0$ 围成的曲边梯形绕 $Y$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于多少？
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继续阅读“求旋转体的体积，但是不会画函数图像怎么办？”涉及抽象函数的题目可以优先尝试举特例
一、题目
若 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫, 又 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x f(x)=l$, 则
(A) $l>0$
(B) $l=0$
(C) $l<0$
(D) 以上均不对
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继续阅读“涉及抽象函数的题目可以优先尝试举特例”解题思路：把要求解的式子的形式往已知的形式上凑
一、题目
若 $a>0, f(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续, 并且当 $0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}$ 时 $f(x)+f(a-x)=0$, 则 $\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$
(A) $>0$
(B) $<0$
(C) $=0$
(D) 不能确定符号
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继续阅读“解题思路：把要求解的式子的形式往已知的形式上凑”对函数垂直渐近线的考察需要分「左右」两侧
一、题目
曲线 $y=(x+2) \mathrm{e}^{\frac{-1}{x}}$
(A) 仅有水平渐近线
(B) 仅有铅直渐近线
(C) 既有铅直又有水平渐近线
(D) 既有铅直又有斜渐近线
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继续阅读“对函数垂直渐近线的考察需要分「左右」两侧”