分类： 考研数学

一、题目

$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{B}^{2}$ 成立的充分必要条件是哪个？

(A) $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$

(B) $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$

(C) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$

(D) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$

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二、解析

由于：

$$
(A + B) (A – B) = A^{2} \textcolor{orangered}{- AB + BA } – B^{2}
$$

当 $A = E$ 或者 $B = O$ 的时候，可得：

$$
-AB + BA = O
$$

因此，可得：

$$
(A + B) (A – B) = A^{2} – B^{2}
$$

但是，由 $(A + B) (A – B) = A^{2} – B^{2}$ 不一定能推出 $A = E$ 或者 $B = O$ 的结果。

于是可知，$A = E$ 或者 $B = O$ 是 $(A + B) (A – B) = A^{2} – B^{2}$ 的充分不必要条件。

由于 $AB = O$ 并不意味着 $BA = O$, 因此，由 $AB = O$ 不一定能推出 $(A + B) (A – B) = A^{2} – B^{2}$.

综上可知，只有 $AB = BA$ 是 $(A + B) (A – B) = A^{2} – B^{2}$ 的充分且必要条件，因此本题的正确选项为 D.

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一、题目

与矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 合同的矩阵是哪个？

(A) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}-1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“合同矩阵有什么性质？什么样的矩阵属于合同矩阵？”

一、题目

若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$, 若 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 正定, 则 $k$ 的取值范围是多少？

难度评级：

继续阅读“正定矩阵的特征值全部大于零”

一、题目

难度评级：

二、解析

由于正定矩阵的所有顺序主子式都是大于零的，所以，对于此类阶数不是很高的矩阵，我们对其各阶顺序主子式进行逐个判断即可：

$$
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{\boldsymbol{k}} & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & k + 3
\end{bmatrix} \\
& \Rightarrow |k| > 0 \Rightarrow \textcolor{yellow}{k > 0} \\ \\
& \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{\boldsymbol{k}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{1}} & 0 \\
\textcolor{orange}{\boldsymbol{1}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{1}} & 0 \\
0 & 0 & k + 3
\end{bmatrix} \\
& \Rightarrow \begin{vmatrix}
k & 1 \\
1 & 1
\end{vmatrix} > 0 \Rightarrow \textcolor{yellow}{k-1>0} \\ \\
& \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{\boldsymbol{k}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{1}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{0}} \\
\textcolor{orange}{\boldsymbol{1}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{1}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{0}} \\
\textcolor{orange}{\boldsymbol{0}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{0}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{k + 3}}
\end{bmatrix} \\
& \Rightarrow \begin{vmatrix}
k & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & k+3
\end{vmatrix} > 0 \Rightarrow \textcolor{yellow}{(k-1) (k+3) > 0}
\end{aligned}
$$

即：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{cases}
k > 0 \\
k > 1 \\
k > -3
\end{cases}
}
\Rightarrow
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{k > 1}}
$$

Note

如果 $k$ $>$ $1$, 则 $k$ 也一定大于 $0$ 和 $-3$.

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综上可知，本 题 应 选 B

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一、题目

已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $2 x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-4 x_{2} x_{3}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$, 则 $a$的取值范围是多少？

难度评级：

继续阅读“由二次型的规范型反推未知数”

一、题目

二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范形是哪个？

(A) $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

(B) $z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

(C) $z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

(D) $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$

难度评级：

继续阅读“标准型是特征值，规范型是正负 1”

一、题目

若二次型 $x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+8 x_{2} x_{3}$, 在下列矩阵运算中, 得到二次型的是：

(A) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 2 \\ -2 & 6 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

(B) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

(C) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ -2 & 4 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

(D) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 4 \\ -2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

难度评级：

继续阅读“写二次型矩阵的时候一定要将二次型中一次项的系数平分后写在矩阵主对角线两侧吗？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则下列命题中正确的有：

(1) $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{B A}$

(2) $\boldsymbol{A}^{2} \sim \boldsymbol{B}^{2}$

(3) $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$

(4) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \sim \boldsymbol{B}^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

继续阅读“如果两个矩阵相似，那么这两个矩阵的哪些变体也是相似的？”

一、题目

已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,-1$, 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则下列矩阵中可逆矩阵是哪个？

(A) $\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}$

(B) $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}$

(C) $\boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{E}$

(D) $\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$

难度评级：

继续阅读“相似的矩阵秩一定相等”

一、题目

下列矩阵中, $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似的是哪个？

(A) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right]$

(B) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$

(C) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]$

(D) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 1 & 3\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“秩不相等的矩阵一定不相似，主对角线上的元素不对应相等的矩阵一定不相似”

一、题目

下列矩阵中，不能相似对角化的是：

难度评级：

继续阅读“相似对角化的条件：所有特征向量都必须是线性无关的”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, 特征值是 $2,2,-5$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 关于 $\lambda=2$ 的线性无关的特征向量, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 对应于 $\lambda=-5$ 的特征向量. 若 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{rr}2 & & \\ & 2 & \\ & & -5\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}$ 不能是：

(A) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{2},-\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

(B) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 5 \boldsymbol{\alpha}_{1}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

(C) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

(D) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

难度评级：

继续阅读“只有属于同一个特征值的特征向量在四则运算之后仍然是该特征值的特征向量”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 下列命题中正确的是哪个？

(A) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$ 的特征向量, 那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

(B) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的特征向量,那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

(C) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{2}$ 的特征向量,那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

(D) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $2 \boldsymbol{A}$ 的特征向量, 那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

难度评级：

继续阅读“矩阵 A 与其变体一定具有相同的特征向量吗？”

一、题目

矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & -4 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & -3\end{array}\right]$ 有一个特征向量是：

(A) $(1,0,-1)^{\mathrm{\top}}$

(B) $(3,3,-6)^{\mathrm{\top}}$

(C) $(4,-1,2)^{\mathrm{\top}}$

(D) $(1,1,-2)^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

继续阅读“在选择题中如何寻找特征向量：只要前两项没有公倍数就不用往后算了”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, $r(\boldsymbol{A})=1$, 则 $\lambda=0$

(A) 必是 $A$ 的二重特征值

(B) 至少是 $A$ 的二重特征值

(C) 至多是 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值

(D) 一重、二重、三重特征值都有可能

难度评级：

继续阅读“秩为 $1$ 的矩阵的特征值可能都等于零”