题目 01
$I$ $=$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})\left(3^{2 x}-1\right)}{\tan (\sin x) \ln (\cos 2 x)}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“用乘除法连接的等价无穷小可以采取“逐个击破”的方式计算”用乘除法连接的等价无穷小可以采取“逐个击破”的方式计算
分类： 考研数学
函数二变一：这样的函数复合运算的题目你一定要会哦
一、题目
已知 $g(x)$ $=$ $\begin{cases}
2-x, & x \leqslant 0 \\
2+x, & x>0
\end{cases}$, $f(x)$ $=$ $\begin{cases}
x^2, & x<0 \\
-x, & x \geqslant 0
\end{cases}$, 则：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} g[f(x)]=?
$$
难度评级：
继续阅读“函数二变一：这样的函数复合运算的题目你一定要会哦”求导符号的位置变了，含义很可能也就变了
一、前言 
下面这两个式子有什么区别：
$$
[f^{\textcolor{orangered}{\prime}}(-x)]
$$
$$
[f(-x)]^{\textcolor{orangered}{\prime}}
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将带你一探究竟！
继续阅读“求导符号的位置变了，含义很可能也就变了”考研数学中常见数学符号的含义
一、前言
在考研数学真题，以及一些参考资料中，出于表述的严谨性和习惯，我们常常会遇到一些数学符号。准确的理解和掌握这些数学符号的含义，对于打牢基础，在考场上不会“因小失大”而言非常重要。
在本文中，荒原之梦考研数学将把考研数学中常见的一些数学符号汇总在这里，希望帮助大家更好的掌握这部分内容。
继续阅读“考研数学中常见数学符号的含义”当不知道抽象函数在某点处的可导性时，只能用一点处导数的定义求解该函数在指定点处的导数值
一、题目
设 $f ( x )$ $=$ $\left( x ^ { 2025 } – 1 \right) g ( x )$, 其中 $g ( x )$ 在 $x$ $=$ $1$ 处连续，且 $g ( 1 )$ $=$ $1$, 则 $f^{ \prime } ( 1 )$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“当不知道抽象函数在某点处的可导性时，只能用一点处导数的定义求解该函数在指定点处的导数值”你能看出来这个变限积分无法直接求导吗？
一、题目
设 $y$ $=$ $y ( x )$ 由 $\begin{cases} x = \int _ { 0 } ^ { t } 2 \mathrm { e } ^ { – u ^ { 2 } } \mathrm { ~ d } u \\ \\ y = \int _ { 0 } ^ { t } \sin ( t – u ) \mathrm { d } u \end{cases}$ 确定，则 $y$ $=$ $y ( x )$ 在 $t$ $=$ $0$ 对应点处的曲率是多少？
难度评级：
继续阅读“你能看出来这个变限积分无法直接求导吗？”这个旋转体是个“甜甜圈”！你会求这个甜甜圈的体积吗？
一、题目
已知，区域 $D$ $=$ $\left\{ ( x , y ) \mid ( x – 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 \right\}$, 则 $D$ 绕 $Y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积是多少？
难度评级：
继续阅读“这个旋转体是个“甜甜圈”！你会求这个甜甜圈的体积吗？”混合偏导数与次序无关的前提是：混合偏导数连续
一、题目
已知，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有二阶连续导数, 函数 $u(x, y)$ 的全微分为 $\mathrm{d} u$ $=$ $y\left[\mathrm{e}^{x}+\right.$ $\left.f^{\prime}(x)\right] \mathrm{~d} x$ $+$ $f^{\prime}(x) \mathrm{~d} y$, 且 $f(0)$ $=$ $f^{\prime}(0)$ $=$ $1$.
(I) 求 $f(x)$;
(II) 求 $f(x)$ 的单调区间与极值.
难度评级：
继续阅读“混合偏导数与次序无关的前提是：混合偏导数连续”在实际的考试中，我们没必要把矩阵化简得这么“彻底”再去求未知数
一、题目
已知，向量组 $\boldsymbol { \alpha } _ { 1 } = ( 1 , 1 , a ) ^ { \mathrm { T } }$ , $\boldsymbol { \alpha } _ { 2 } = ( 1 , – 2 , b ) ^ { \mathrm { T } }$ , $\boldsymbol { \alpha } _ { 3 } = ( – 2 , 1 , c ) ^ { \mathrm { T } }$ 的秩为 $a$, 若 $\boldsymbol { \beta } = ( 1 , 2 , 0 ) ^ { \top }$ 可由 $\boldsymbol { \alpha } _ { 1 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 2 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 3 }$ 线性表示，且表示法不唯一, 则 $\begin{cases}
a = ? \\ b = ?
\end{cases}$
A. $a = 2$, $b = 8$, $c = 1 0$
B. $a = 2$, $b = 8$, $c = -1 0$
C. $a = 1$, $b = – 8$, $c = 1 0$
D. $a = 1$, $b = – 8$, $c = – 1 0$
难度评级：
继续阅读“在实际的考试中，我们没必要把矩阵化简得这么“彻底”再去求未知数”对题目的等价转化往往就是解题的突破口
一、题目
若方程 $\tan x = a x$ 在 $\left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$ 内有实根，则常数 $a$ 的取值范围是多少？
(A). $0 < a < \frac { 4 } { \pi }$
(B). $1 < a < \frac { \pi } { 4 }$
(C). $1 < a < \frac { 4 } { \pi }$
(D). $0 < a < \frac { \pi } { 4 }$
难度评级：
继续阅读“对题目的等价转化往往就是解题的突破口”一点处连续与存在的区别：连续性要考虑“邻居”，存在性只需要考虑“自己”
一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)$ $-$ $x^{\frac{2}{3}}$, 则下面说法正确的是哪一个？
(A). $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
(B). $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 存在
(C). $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
(D). $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
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继续阅读“一点处连续与存在的区别：连续性要考虑“邻居”，存在性只需要考虑“自己””考研数学里那些希腊字母的规范汉字译音
By Future Perfect at Sunrise
一、前言
希腊字母一共有 24 个，其中有不少希腊字母会经常出现在考研数学试卷、课程和辅导资料中。
但是，这些字母在其他地方并不常见，同时有些情况下我们听到的关于这些字母的发音也不准确，给我们的学习造成了一定的困扰。
在本文中，荒原之梦考研数学将给出这 24 个希腊字母的标准汉字译音，这些译音的参考资料来自中国科学院主管、全国科学技术名词审定委员会主办的学术期刊《中国科技术语》（ISSN：1673-8578）2003 年第 3 期第 9 页——
这些汉字译音最早发布于 1995 年，是全国范围内最权威最标准的希腊字母译音。
解题的突破口一般就是尝试增加式子的一致性，降低式子的复杂度
一、题目
请问，$x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ $=$ $3 x$ $-$ $4 \sin x$ $+$ $\sin x \cos x$ 是关于 $x$ 的多少阶无穷小？
难度评级：
继续阅读“解题的突破口一般就是尝试增加式子的一致性，降低式子的复杂度”遇到这样的式子，且题目中提到了导数的话，一定要考虑能否用一点处导数的定义公式
一、题目
已知 $F(x)$ $=$ $\begin{cases}\frac{f(x)}{x}, & x \neq 0, \ f(0), & x=0,\end{cases}$ 其中 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处可导. 且 $f^{\prime}(0)$ $\neq$ $0$, $f(0)$ $=$ $0$, 则 ( )
(A). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的连续点
(B). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第一类间断点
(C). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第二类间断点
(D). 以上说法都不对
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继续阅读“遇到这样的式子，且题目中提到了导数的话，一定要考虑能否用一点处导数的定义公式”微分方程和洛必达运算的结合
一、题目
已知 $y$ $=$ $y(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $2 y^{\prime}$ $+$ $y$ $=$ $\mathrm{e}^{3 x}$ 的解, 且满足 $y(0)$ $=$ $y^{\prime}(0)$ $=$ $0$.
则当 $x \rightarrow 0$时, 与 $y(x)$ 为等价无穷小的是 ( )
(A). $\sin x^{2}$
(B). $\sin x$
(C). $\ln \sqrt{1+x^{2}}$
(D). $\ln \left(1+x^{2}\right)$
难度评级：
继续阅读“微分方程和洛必达运算的结合”