考研数学 – 第 94 页

一、题目

$I =$
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x}) (1- \sqrt[3]{\cos x}) \cdots (1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}$ $=$ $?$

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一、题目

$I$ $=$
$\lim _{ x \rightarrow 0 }$ $\frac { x \sin x ^ { 2 } – 2 ( 1 – \cos x ) \sin x } { x ^ { 4 } }$ $=$ $?$

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一、题目

$$
\begin{aligned}
I \\
& = \lim_{x \rightarrow + \infty} \left(\sqrt[6]{x^{6} + x^{5}}−\sqrt[6]{x^{6}−x^{5}}\right) \\
& = ?
\end{aligned}
$$

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一、题目

$$
\begin{aligned}
& I \\
& = \lim_{x \rightarrow + \infty} \left( \sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \right)^{x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}} \\
& = ?
\end{aligned}
$$

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题目 02

$$
I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{x^2}-1\right)(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{[\ln (1-x)+\ln (1+x)] \sin \frac{x}{1+x}}
$$

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解析 02

本题和上一题的求解思路类似，原式中用乘法或者除法连接的部分可以分开计算最后再合并计算，但对于用加法或者减法连接的部分，则要看作一个整体进行运算，不能拆分。

*

$$
e^{x^2} – 1 \sim \left(x^2\right)
$$

**

$$
\begin{aligned}
\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \\ \\
& = (1+x)^{\frac{1}{2}}-(1-x)^{\frac{1}{2}} \\ \\
& = e^{\frac{1}{2} \ln (1+x)}-e^{\frac{1}{2} \ln (1-x)} \\ \\
& = e^{\frac{1}{2} x}-e^{\frac{1}{2}(-x)} \\ \\
& = \left(e^{\frac{1}{2} x}-1\right)-\left(e^{\frac{1}{2}(-x)}-1\right) \\ \\
& = \frac{1}{2} x+\frac{1}{2} x \\ \\
& = x
\end{aligned}
$$

***

$$
\begin{aligned}
\ln (1-x)+\ln (1+x) \\ \\
& = \ln (1-x)(1+x) \\ \\
& = \ln \left(1-x^2\right) \\ \\
& = -x^2
\end{aligned}
$$

或者：

$$
\begin{aligned}
\ln (1-x)+\ln (1+x) \\ \\
& = -[(-x-\ln (1-x))+(x-\ln (1+x)] \\ \\
& = -\left[\frac{1}{2}(-x)^2+\frac{1}{2} x^2\right] \\ \\
& = -x^2
\end{aligned}
$$

****

$$
\sin \frac{x}{1+x} = \left(\frac{x}{1+x}\right)
$$

合并

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \frac{x^2 \cdot x}{-x^2 \cdot \frac{x}{1+x}} \\ \\
& = \frac{x^3}{\frac{-x^3}{1+x}} \\ \\
& = x^3 \cdot \frac{1+x}{-x^3} \\ \\
& = -(1+0) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{-1}
\end{aligned}
$$

高等数学

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

让考场上没有难做的数学题！

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函数二变一：这样的函数复合运算的题目你一定要会哦

一、题目

已知 $g(x)$ $=$ $\begin{cases}
2-x, & x \leqslant 0 \\
2+x, & x>0
\end{cases}$, $f(x)$ $=$ $\begin{cases}
x^2, & x<0 \\
-x, & x \geqslant 0
\end{cases}$, 则：

$$
\lim _{x \rightarrow 0} g[f(x)]=?
$$

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求导符号的位置变了，含义很可能也就变了

一、前言

下面这两个式子有什么区别：

$$
[f^{\textcolor{orangered}{\prime}}(-x)]
$$

$$
[f(-x)]^{\textcolor{orangered}{\prime}}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将带你一探究竟！

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考研数学中常见数学符号的含义

一、前言

在考研数学真题，以及一些参考资料中，出于表述的严谨性和习惯，我们常常会遇到一些数学符号。准确的理解和掌握这些数学符号的含义，对于打牢基础，在考场上不会“因小失大”而言非常重要。

在本文中，荒原之梦考研数学将把考研数学中常见的一些数学符号汇总在这里，希望帮助大家更好的掌握这部分内容。

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当不知道抽象函数在某点处的可导性时，只能用一点处导数的定义求解该函数在指定点处的导数值

一、题目

设 $f ( x )$ $=$ $\left( x ^ { 2025 } – 1 \right) g ( x )$, 其中 $g ( x )$ 在 $x$ $=$ $1$ 处连续，且 $g ( 1 )$ $=$ $1$, 则 $f^{ \prime } ( 1 )$ $=$ $?$

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你能看出来这个变限积分无法直接求导吗？

一、题目

设 $y$ $=$ $y ( x )$ 由 $\begin{cases} x = \int _ { 0 } ^ { t } 2 \mathrm { e } ^ { – u ^ { 2 } } \mathrm { ~ d } u \\ \\ y = \int _ { 0 } ^ { t } \sin ( t – u ) \mathrm { d } u \end{cases}$ 确定，则 $y$ $=$ $y ( x )$ 在 $t$ $=$ $0$ 对应点处的曲率是多少？

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这个旋转体是个“甜甜圈”！你会求这个甜甜圈的体积吗？

一、题目

已知，区域 $D$ $=$ $\left\{ ( x , y ) \mid ( x – 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 \right\}$, 则 $D$ 绕 $Y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积是多少？

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混合偏导数与次序无关的前提是：混合偏导数连续

题目

己知 $f ( x )$ 具有一阶连读导数, 且 $\left[ f ( x ) – e ^ { x } \right] \sin y \mathrm{~d} x$ $-$ $f ( x ) \cos y \mathrm{~d} y$ 是二元函数 $u(x, y)$ 的全微分，则这个二元函数 $u(x, y)$ 是否具有二阶连续偏导数？

解析

首先，由题目可知：

$$
\begin{aligned}
\frac { \partial u } { \partial x } & = \left[ f ( x ) – e ^ { x } \right] \sin y \\ \\
\frac { \partial u } { \partial y } & = – f ( x ) \cos y
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y } & = \left[ \textcolor{orangered}{ f ( x ) } – e ^ { x } \right] \cos y \\ \\
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial ^ { x } } & = – \textcolor{orangered}{ f ^ { \prime } ( x ) } \cos y
\end{aligned}
$$

由于 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 分别由 $f(x)$ 和其一阶导 $f ^{\prime} (x)$ 以及连续的初等函数，通过四则运算组成，因此，二阶偏导数 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 的连续性，就取决于 $f(x)$ 和 $f ^{\prime} (x)$ 的连续性。

又由于 $f ^{\prime} (x)$ 连续，因此，$f ^{\prime} (x)$ 存在，也就是说 $f(x)$ 可导，根据“可导必连续”的定理可知，$f(x)$ 也连续。

综上，二元函数 $u(x, y)$ 的二阶偏导数 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 分别都是连续的，因此，下式也成立：

$$
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y } = \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }
$$

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线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

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在实际的考试中，我们没必要把矩阵化简得这么“彻底”再去求未知数

一、题目

已知，向量组 $\boldsymbol { \alpha } _ { 1 } = ( 1 , 1 , a ) ^ { \mathrm { T } }$ , $\boldsymbol { \alpha } _ { 2 } = ( 1 , – 2 , b ) ^ { \mathrm { T } }$ , $\boldsymbol { \alpha } _ { 3 } = ( – 2 , 1 , c ) ^ { \mathrm { T } }$ 的秩为 $a$, 若 $\boldsymbol { \beta } = ( 1 , 2 , 0 ) ^ { \top }$ 可由 $\boldsymbol { \alpha } _ { 1 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 2 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 3 }$ 线性表示，且表示法不唯一, 则 $\begin{cases}
a = ? \\ b = ?
\end{cases}$

A. $a = 2$, $b = 8$, $c = 1 0$