考研数学 – 第 94 页

一、题目

已知 $u _ { n } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + i } }$, 则：

$$
\lim _ { n \rightarrow \infty } u _ { n } = ?
$$

难度评级：

一、题目

已知 $\alpha$ $=$ $[ 1 , 3 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, $\beta$ $=$ $[ 1 , – 1 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, 且矩阵 $A$ 与 $\alpha \beta ^ { \mathrm { \top } }$ 相似，那么 $( 2 A + E ) ^ { * }$ 的特征值是多少？

难度评级：

继续阅读

一、前言

我们知道，涉及无穷小量的除法运算可以用洛必达等方法辅助解决，涉及无穷小量的乘法运算也有很多辅助解决的方法，但由于加减运算没有乘除运算对无穷量的作用力度强，所以，有时候我们突然遇到无穷小量之间的的减法运算（如果是加法运算可以转换为减法运算）时，可能会觉得无从下手。

其实，减法运算也有很多等价无穷小的运算公式，荒原之梦考研数学在这里给同学们做一个汇总。

继续阅读

一、题目

“对任意的 $\varepsilon \in ( 0 , 2 )$, 总存在正整数 $N$, 当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left| x _{ n } – a \right|$ $\leqslant 3$ $\varepsilon$” 是数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 收敛于 $a$ 的什么条件？

(A)充分非必要条件

(B)必要非充分条件

(C)充分必要条件

(D)非充分非必要条件

难度评级：

继续阅读

一、题目

已知函数 $f ( x )$ 在区间 $( – \infty , + \infty )$ 内可导，且是以 $T$ 为周期的周期函数，则函数 $f ^ { \prime } ( a x + b )$ （其中 $a \neq 0$, 且 $a$, $b$ 为常数）的周期是多少？

(A) $T$

(B) $T – b$

(D) $T / a$

难度评级：

继续阅读

一、题目

已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 和 $\boldsymbol { C }$ 满足关系式 $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B C }$ $=$ $\boldsymbol { E }$, 其中 $\boldsymbol { E }$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则以下结论正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { C B }$ $=$ $\boldsymbol { E }$

(B) $\boldsymbol { C B } \boldsymbol { A }$ $=$ $\boldsymbol { E }$

(D) $\boldsymbol { B A } \boldsymbol { C }$ $=$ $\boldsymbol { E }$

难度评级：

继续阅读

矩阵乘法中的矩阵不满足消去律和交换律，但矩阵对应的行列式满足消去律和交换律

一、题目

已知 $\boldsymbol { A }$ 和 $\boldsymbol { B }$ 都是 $n \times n$ 矩阵，则必有：

(A) $| \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } |$ $=$ $| \boldsymbol { A } |$ $+$ $| \boldsymbol { B } |$

(B) $| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } |$ $=$ $| \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } |$

(D) $( \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } ) ^ { – 1 }$ $=$ $\boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { B } ^ { – 1 }$

难度评级：

二、解析

$\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 均为 $n$ 阶方阵，于是：

$$
| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } | = \textcolor{orangered}{| \boldsymbol { A } | \cdot | \boldsymbol { B } |} = \textcolor{springgreen}{| \boldsymbol { B } | \cdot | \boldsymbol { A } |}
$$

$$
| \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } | = \textcolor{springgreen}{| \boldsymbol { B } | \cdot | \boldsymbol { A } |} = \textcolor{orangered}{| \boldsymbol { A } | \cdot | \boldsymbol { B } |}
$$

即：

$$
| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } | = | \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } |
$$

因此可知，矩阵对应的行列式满足交换律，B 选项正确。

且根据前面的分析可知，矩阵本身不满足交换律，C 选项不正确。

对于 A 选项，我们可以设：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol { A } & = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\ 3 & 4
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol { B } & = \begin{bmatrix}
– 1 & – 2 \\ – 3 & – 4
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

于是有：

$$
| \boldsymbol { A } | = | \boldsymbol { B } | = – 2
$$

但是：

$$
| \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } | = 0 \neq -4
$$

所以 A 选项不正确。

同时，由于 $| \boldsymbol { A } |$ $=$ $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $- 2$ $\neq$ $0$, 所以矩阵 $\boldsymbol { A }$ 和矩阵 $\boldsymbol { B }$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{ A }^{-1}$ 和 $\boldsymbol{ B }^{-1}$ 均存在。

但是，由于 $\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B }$ $=$ $0$, 因此，矩阵 $\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B }$ 的逆矩阵 $(\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B })^{-1}$ 不存在，即 D 选项不正确。

综上可知，本题应选 B 荒原之梦考研数学 | 本文结束

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

让考场上没有难做的数学题！

页码： 12

一、题目

记行列式 $\left| \begin{array} { c c c c } x – 2 & x – 1 & x – 2 & x – 3 \\ 2 x – 2 & 2 x – 1 & 2 x – 2 & 2 x – 3 \\ 3 x – 3 & 3 x – 2 & 4 x – 5 & 3 x – 5 \\ 4 x & 4 x – 3 & 5 x – 7 & 4 x – 3 \end{array} \right|$ 为 $f ( x )$, 则方程 $f ( x )$ $=$ $0$ 的实根的个数是多少？

(A) 1

(B) 2

(D) 4

难度评级：

继续阅读

有些无穷小虽然是无穷小，但却不能用无穷小的相关公式

一、题目

$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { \cos 2 x – \cos x } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$

难度评级：

继续阅读

用简化公式快速记住三角函数的和差化积与积化和差公式（荒原之梦考研数学原创）

一、前言

由于不经常使用，三角函数的和差化积和积化和差公式是我们在考研数学的复习过程中很容易忽略的一个知识点。

虽然大部分题目不使用和差化积和积化和差公式也能做出来，但掌握这些公式，对于开拓我们的解题思路，甚至在必要的时候用来“救急”都是很有必要的。

同时，在本文中，荒原之梦考研数学还会给大家提供一个原创的记忆这些公式的方法，帮助大家更高效的记忆和掌握这些公式。

继续阅读

高阶行列式的计算思路：降阶或者找规律

一、题目

$$
\left| \begin{array} { c c c c c } a _{ 1 } & 0 & 0 & b _{ 1 } \\ 0 & a _{ 2 } & b _{ 2 } & 0 \\ 0 & b _{ 3 } & a _{ 3 } & 0 \\ b _{ 4 } & 0 & 0 & a _{ 4 } \end{array} \right| = ?
$$

(A) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $-$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$

(B) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $+$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$

(D) $\left( a _{ 1 } a _{ 2 } – b _{ 1 } b _{ 2 } \right)$ $\left( a _{ 3 } a _{ 4 } – b _{ 3 } b _{ 4 } \right)$

难度评级：

继续阅读

矩阵的加减运算：只有同型矩阵才可以做加减运算，所得的也是同型矩阵

一、前言

通过本文中，我们将解决下面的问题：

什么样的矩阵可以做加减运算？
实际矩阵的加减运算怎么做？
抽象矩阵的加减运算有哪些定理？

继续阅读

当特征值等于零的时候，求解特征值和特征向量的式子其实就是一个齐次线性方程组

一、题目

已知 $\boldsymbol { A }$ 是 $3$ 阶实对称矩阵， $\boldsymbol { \alpha }$ $=$ $( – 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$ 满足 $( \boldsymbol { A } – 2 \boldsymbol { E } ) \boldsymbol { \alpha }$ $=$ $0$, 且 $r ( \boldsymbol { A } )$ $=$ $1$, 则方程组 $\boldsymbol {A} x$ $=$ $0$ 的基础解系为：

A. $( 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , – 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} }$

B. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

C. $( 1 , 1 , – 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

D. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

难度评级：

解题思路简图

解题思路简图锚点

graph TD
    A[原式] --> |变形| B[特征值] --> |公式| C[特征向量];
    D[秩为 1] --> E[只有一个非零特征值] --> F[0 为二重特征值] --> |实对称矩阵| G[特征值对应的特征向量正交];
    C --> G;
    G --> H[求解特征值] --> |变形| I[验证选项]

继续阅读