分类： 考研数学

一、题目

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}$ $=$

解法一

使用四则运算将原式化简，之后使用等价无穷小替换求出结果。

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^{2}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{1+x+1-x+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}$

由于当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$(\sqrt{1+x}$ $+$ $\sqrt{1-x})$ $\rightarrow$ $2$, 因此有：

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{4x^{2}}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{2(\sqrt{1-x^{2}}-1)}{4x^{2}}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{2x^{2}}$

根据等价无穷小的如下替换原则：

$(1+x)^{\mu }$ $-$ $1$ $\backsim$ $\mu$ $x$

（详细内容可以参考荒原之梦网（zhaokaifeng.com）的这篇文章：高等数学中常用的等价无穷小）

可知：

$\sqrt{1-x^{2}}$ $-$ $1$ $\backsim$ $-$ $\frac{1}{2}x^{2}$, 因此有：

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{-\frac{1}{2}x^{2}}{2x^{2}}$ $=$ $-$ $\frac{1}{4}$

解法二

观察题目中的式子可以发现，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，满足以下条件：

(1) $\sqrt{1+x}$ $+$ $\sqrt{1-x}$ $-$ $2$ $\rightarrow$ $0$

(2) $x^{2}$ $\rightarrow$ $0$ 且 $x^{2}$ $\neq$ $0$

(3) $y$ $=$ $\sqrt{1+x}$ $+$ $\sqrt{1-x}$ $-$ $2$ 和 $y$ $=$ $x^{2}$ 在 $0$

附近两者都可导（在 $0$ 附近，导数存在且连续，故可导）。

综上可知，此处可以使用 $\frac{0}{0}$ 型的洛必达法则，即可以对分子和分母分别求导后再求极限来确定未定式的值。

求导过程如下：

原式 $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} – \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}}{2x}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}} – \frac{1}{\sqrt{1-x}}}{4x}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x(\sqrt{1+x} \times \sqrt{1-x})}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1-x} – \sqrt{1+x}}{4x \sqrt{1-x^{2}}}$

因为，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\sqrt{1-x^{2}}$ $\rightarrow$ $1$, 所以有：

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x}$

上面的计算过程依次是“求导 / 化简 / 化简 / 化简 / 化简”。下面开始正式使用 $\frac{0}{0}$ 型的洛必达法则进行计算：

$\overset{\frac{0}{0}}{\rightarrow}$ $\lim_{x \to 0}$ $=$ $-$ $\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-x}} – \frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{4}$

经过上面的求导，我们发现，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$-$ $\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ $\rightarrow$ $-$ $\frac{1}{2}$, $-$ $\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$ $\rightarrow$ $0$, 因此有：

原式 $=$ $\frac{-\frac{1}{2} – \frac{1}{2}}{4}$ $=$ $\frac{-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}{4}$ $=$ $-$ $\frac{1}{4}$

在使用洛必达法则解决该问题的时候，进行了两次求导。其实，只要满足以下三个条件，则在使用洛必达法则的过程中可以进行任意次求导，但需要注意的是，每一次求导之前必须确保式子仍然满足如下三个条件，否则不能使用洛必达法则：

设：$y$ $=$ $\frac{f(x)}{g(x)}$, 则需满足：

(01) $x$ $\rightarrow$ $x_{0}$ 或 $x$ $\rightarrow$ $\infty$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 均趋于 $0$ 或者趋于 $\infty$;

(02) $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 的去心邻域可导且 ${g}'(x)$ $\neq$ $0$;

(03) $\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$ 的极限存在或者为无穷大。

总结来说，洛必达法则的使用方法如下：

$\lim_{x \to x_{0}}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x \to x_{0}}$ $\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$

解法三

观察题目中的式子我们发现，可以使用麦克劳林展开式的 $(1+x)^{m}$ 的形式和皮亚诺余项对该题目进行计算，公式如下：

$(1+x)^{m}$ $=$ $1$ $+$ $mx$ $+$ $\frac{m(m-1)}{2!}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2})$

代入公式可得：

$\sqrt{1+x}$ $=$ $(1+x)^{\frac{1}{2}}$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $x$ $+$ $\frac{\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}-1)}{2!}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2}$ $)$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $x$ $-$ $\frac{1}{8}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2})$

$\sqrt{1-x}$ $=$ $(1-x)^{\frac{1}{2}}$ $=$ $1$ $-$ $\frac{1}{2}$ $x$ $+$ $\frac{\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}-1)}{2!}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2})$ $=$ $1$ $-$ $\frac{1}{2}$ $x$ $-$ $\frac{1}{8}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2})$

于是有：

原式 $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{1+\frac{1}{2} x – \frac{1}{8} x^{2} + 1 – \frac{1}{2} x – \frac{1}{8} x^{2} + o(x^{2})-2}{x^{2}}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{-\frac{1}{4} x^{2} + o(x^{2})}{x^{2}}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $-$ $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{0(x^{2})}{x^{2}}$ $=$ $-$ $\frac{1}{4}$.

EOF