前言
关于【无穷大】与【无界】的关系，可以通过严格的数学语言加以证明。但是，出于更易于理解的目的，本文将通过两个具体的函数图像来形象化地展示这两者之间的关系。
正文
结论
无穷 $\Rightarrow$ 无界;
无界 $\nRightarrow$ 无穷.
即：
如果一个函数值是无穷大的，那么这个函数【一定】是无界的；
如果一个函数是无界的，则这个函数【不一定】是无穷大的。
解释
首先，我们要理解什么是【无穷大】：无穷大不是一个数值，也不是某个点，无穷大的存在首先需要一个【过程】，而且这个过程还是一个没有终点的不断增大的过程。换句话说，一个能使无穷大存在的过程，必须是一个【单调】的过程，我们可以称有这种性质的函数为“单调无穷函数”，或者称之为“经典式无穷函数”。
例如，在 $x \rightarrow \infty$ 的过程中，$y = x^{3}$ 就表现出了“单调无穷函数”所具有的性质，如图 1 所示：
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图 1 使用 MATLAB R2016a 程序绘制，MATLAB 代码如下：
x = -1000:0.01:1000; y = x.*x.*x; plot(x, y)
对于“单调无穷函数”而言，无穷就意味着无界，无界就意味着无穷。
同时，还存在另外一种【不单调】的【假无穷】函数，这类函数在一个【过程】内也是无界函数，因为该函数在这个过程内存在无穷大量，但是该函数在这个过程内并不是始终都有趋向于无穷大量的趋势，而是具有某种“迂回回复”，因此，这类函数并不是目前所定义的无穷函数。
在 $x \rightarrow \infty$ 的过程中，$y = x \sin (x)$ 就表现出了“非单调无穷函数”或者说“震荡无穷函数”的性质，如图 2 所示：
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图 2 使用 MATLAB R2016a 程序绘制，MATLAB 代码如下：
x = -100:0.01:100; y = x .* sin(x); plot(x, y)
对于“震荡无穷函数而言”，这类函数是【无界】的，但【并不是无穷】的。
综上可知，从整体上看，由无穷能推出无界，但由无界推不出无穷。
注意
(1) “非单调无穷函数”以及“震荡无穷函数”只是本文中为这类函数起的一个名字。事实上，高等数学中所说的“无穷”单指“单调无穷”，所有“非单调无穷”或者“震荡无穷”都不是无穷。
(2) 说”震荡无穷函数”是【无界但不无穷】的，是只针对【函数】而言的。如果我们要在“震荡无穷函数”上找一些特定的点组成一个离散的数列，那么在“震荡无穷函数”的图像上是存在【既无界又无穷】的数列的——我们可以找到一些点使之具有“单调无穷”的性质，从而形成无穷数列。
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