[高数]形象化理解无穷大量与无界函数之间的关系

前言

关于【无穷大】与【无界】的关系,可以通过严格的数学语言加以证明。但是,出于更易于理解的目的,本文将通过两个具体的函数图像来形象化地展示这两者之间的关系。

正文

结论

无穷 $\Rightarrow$ 无界;

无界 $\nRightarrow$ 无穷.

即:

如果一个函数值是无穷大的,那么这个函数【一定】是无界的;

如果一个函数是无界的,则这个函数【不一定】是无穷大的。

解释

首先,我们要理解什么是【无穷大】:无穷大不是一个数值,也不是某个点,无穷大的存在首先需要一个【过程】,而且这个过程还是一个没有终点的不断增大的过程。换句话说,一个能使无穷大存在的过程,必须是一个【单调】的过程,我们可以称有这种性质的函数为“单调无穷函数”,或者称之为“经典式无穷函数”。

例如,在 $x \rightarrow \infty$ 的过程中,$y = x^{3}$ 就表现出了“单调无穷函数”所具有的性质,如图 1 所示:

图 1.

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图 1 使用 MATLAB R2016a 程序绘制,MATLAB 代码如下:

x = -1000:0.01:1000;
y = x.*x.*x;
plot(x, y)

对于“单调无穷函数”而言,无穷就意味着无界,无界就意味着无穷。

同时,还存在另外一种【不单调】的【假无穷】函数,这类函数在一个【过程】内也是无界函数,因为该函数在这个过程内存在无穷大量,但是该函数在这个过程内并不是始终都有趋向于无穷大量的趋势,而是具有某种“迂回回复”,因此,这类函数并不是目前所定义的无穷函数。

在 $x \rightarrow \infty$ 的过程中,$y = x \sin (x)$ 就表现出了“非单调无穷函数”或者说“震荡无穷函数”的性质,如图 2 所示:

图 2.

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图 2 使用 MATLAB R2016a 程序绘制,MATLAB 代码如下:

x = -100:0.01:100;
y = x .* sin(x);
plot(x, y)

对于“震荡无穷函数而言”,这类函数是【无界】的,但【并不是无穷】的。

综上可知,从整体上看,由无穷能推出无界,但由无界推不出无穷。

注意

(1) “非单调无穷函数”以及“震荡无穷函数”只是本文中为这类函数起的一个名字。事实上,高等数学中所说的“无穷”单指“单调无穷”,所有“非单调无穷”或者“震荡无穷”都不是无穷。

(2) 说”震荡无穷函数”是【无界但不无穷】的,是只针对【函数】而言的。如果我们要在“震荡无穷函数”上找一些特定的点组成一个离散的数列,那么在“震荡无穷函数”的图像上是存在【既无界又无穷】的数列的——我们可以找到一些点使之具有“单调无穷”的性质,从而形成无穷数列。