[高数]等价无穷大

前言

在计算极限的时候,如果能够适当且合理地使用等价无穷大,通常能节省不少时间和计算步骤。本文将简要介绍等价无穷大及其性质,以作参考。

正文

据我目前掌握的资料显示,等价无穷大的定义是:若两个无穷大相除的值等于 $1$, 则这两个无穷大为等价无穷大。由于这里没有指明是否要求这两个无穷大都是正无穷大或者负无穷大,为了防止发生错误,我们可以这样认为:

若:

$$
\frac{\lim_{x \rightarrow + \infty} a}{\lim_{x \rightarrow + \infty} b} = 1.
$$

则,$a$ 和 $b$ 互为等价正无穷大。

若:

$$
\frac{\lim_{x \rightarrow – \infty} a}{\lim_{x \rightarrow – \infty} b} = 1.
$$

则,$a$ 和 $b$ 互为等价负无穷大。

等价无穷大有如下性质:

  • 等价无穷小的倒数为等价无穷大,等价无穷大的倒数为等价无穷小。
  • 若一个式子的极限存在,则这个式子中的无穷大可以用其等价无穷大替换。

关于使用等价无穷大解题,下面这篇文章中有一个例子可供参考:

[高数]什么时候无穷大减无穷大等于零