如果已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$, 以及 $n$ 阶零矩阵 $\boldsymbol{O}$, 且下式成立：
$$
\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O}
$$
那么，我们能判断出来有关矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的哪些性质呢？
在本文中，荒原之梦考研数学将借助类似“俄罗斯方块”游戏中的元素，为同学们解释清楚这个问题。
继续阅读“用“俄罗斯方块”理解两矩阵相乘得零矩阵所蕴含的规律”
已知，$6$ 阶行列式 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ 中含有 $31$ 个零元素，则下面说法正确的是哪个？
[A]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $>$ $0$
[B]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $=$ $0$
[C]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $<$ $0$
[D]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $\leqslant$ $0$
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继续阅读“当行列式中非零元素的个数小于行数或列数的时候，该行列式一定等于零”一个 $n$ 阶行列式的展开式有多少项？在本文中，荒原之梦考研数学就通过实际计算和演示推理，给同学们讲明白，为什么 $n$ 阶行列式的展开式中有 $n!$ 个项。
继续阅读“n阶行列式的展开项有n!个”设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足：对任意 $x _{ 1 }$, $x _{ 2 }$, $x _{ 3 }$ 均有 $\boldsymbol{A} \left( \begin{array} { c } x _{ 1 } \\ x _{ 2 } \\ x _{ 3 } \end{array} \right)$ $=$ $\left( \begin{array} { c } x _{ 1 } + x _{ 2 } + x _{ 3 } \\ 2 x _{ 1 } – x _{ 2 } + x _{ 3 } \\ x _{ 2 } – x _{ 3 } \end{array} \right)$
(1) 求 $\boldsymbol{A}$;
(2) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{P ^ { – 1 } A P}$ $=$ $\boldsymbol{\Lambda}$.
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继续阅读“2023年考研数二第22题解析：根据矩阵乘法凑出隐含的矩阵、矩阵的特征值和特征向量”已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$, $\boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $\boldsymbol{A B C}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 其中，$\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则下面的式子一定成立的是哪个？
(A) $\boldsymbol{A C B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$
(B) $\boldsymbol{C B A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$
(C) $\boldsymbol{B C A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$
(D) $\boldsymbol{B A C}$ $=$ $\boldsymbol{E}$
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继续阅读“矩阵乘法不能随便“拆”：一拆就可能“变味”了”已知 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，若 $|A|$ $=$ $1$, 请证明当 $n$ 为奇数时，有 $| \boldsymbol { E } – \boldsymbol { A } |$ $=$ $0$.
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继续阅读“转置运算可以用来引入矩阵乘法”已知 $a _{ i }$ $\neq$ $0$ ($i$ $=$ $1$, $2$, $3$, $4$), 则：
$$
|V| =
\begin{vmatrix}
& a_{1}^{3} & a_{1}^{2}b_{1} & a_{1}b_{1}^{2} & b_{1}^{3} & \\ \\
& a_{2}^{3} & a_{2}^{2}b_{2} & a_{2}b_{2}^{2} & b_{2}^{3} & \\ \\
& a_{3}^{3} & a_{3}^{2}b_{3} & a_{3}b_{3}^{2} & b_{3}^{3} & \\ \\
& a_{4}^{3} & a_{4}^{2}b_{4} & a_{4}b_{4}^{2} & b_{4}^{3} &
\end{vmatrix} = ?
$$
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继续阅读“行列式“剥洋葱”：对于行或者列之间存在普遍规律的行列式可以尝试先提取其“公共部分””若行列式 $\begin{vmatrix}
x-5 & -6 & 3 \\
1 & x & -1 \\
-1 & -2 & x-1
\end{vmatrix}$ $=$ $0$, 那么，$x$ $=$ $?$
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继续阅读“通过化简，我们可以直接完成行列式的求解”在本文中，荒原之梦考研数学网（zhaokaifeng.com）将考研数学中常用的矩阵都做了一个汇总，方便同学们对不同矩阵的性质做对比，从而更深刻的理解这些矩阵之间的区别、联系与性质。
继续阅读“考研数学中那些“各种各样”的矩阵”已知 $\alpha$ $=$ $[ 1 , 3 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, $\beta$ $=$ $[ 1 , – 1 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, 且矩阵 $A$ 与 $\alpha \beta ^ { \mathrm { \top } }$ 相似，那么 $( 2 A + E ) ^ { * }$ 的特征值是多少？
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继续阅读“伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值之间有什么关系？”已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 和 $\boldsymbol { C }$ 满足关系式 $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B C }$ $=$ $\boldsymbol { E }$, 其中 $\boldsymbol { E }$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则以下结论正确的是哪个？
(A) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { C B }$ $=$ $\boldsymbol { E }$
(B) $\boldsymbol { C B } \boldsymbol { A }$ $=$ $\boldsymbol { E }$
(C) $\boldsymbol { B C A }$ $=$ $\boldsymbol { E }$
(D) $\boldsymbol { B A } \boldsymbol { C }$ $=$ $\boldsymbol { E }$
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继续阅读“单位矩阵很可能“引”出来互逆矩阵”已知 $\boldsymbol { A }$ 和 $\boldsymbol { B }$ 都是 $n \times n$ 矩阵，则必有：
(A) $| \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } |$ $=$ $| \boldsymbol { A } |$ $+$ $| \boldsymbol { B } |$
(B) $| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } |$ $=$ $| \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } |$
(C) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { B } \boldsymbol { A }$
(D) $( \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } ) ^ { – 1 }$ $=$ $\boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { B } ^ { – 1 }$
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$\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 均为 $n$ 阶方阵，于是：
$$
| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } | = \textcolor{orangered}{| \boldsymbol { A } | \cdot | \boldsymbol { B } |} = \textcolor{springgreen}{| \boldsymbol { B } | \cdot | \boldsymbol { A } |}
$$
$$
| \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } | = \textcolor{springgreen}{| \boldsymbol { B } | \cdot | \boldsymbol { A } |} = \textcolor{orangered}{| \boldsymbol { A } | \cdot | \boldsymbol { B } |}
$$
即：
$$
| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } | = | \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } |
$$
因此可知，矩阵对应的行列式满足交换律，B 选 项 正 确 。
且根据前面的分析可知，矩阵本身不满足交换律，C 选 项 不 正 确 。
对于 A 选项，我们可以设：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol { A } & = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\ 3 & 4
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol { B } & = \begin{bmatrix}
– 1 & – 2 \\ – 3 & – 4
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
于是有：
$$
| \boldsymbol { A } | = | \boldsymbol { B } | = – 2
$$
但是：
$$
| \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } | = 0 \neq -4
$$
所以 A 选 项 不 正 确。
同时，由于 $| \boldsymbol { A } |$ $=$ $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $- 2$ $\neq$ $0$, 所以矩阵 $\boldsymbol { A }$ 和矩阵 $\boldsymbol { B }$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{ A }^{-1}$ 和 $\boldsymbol{ B }^{-1}$ 均存在。
但是，由于 $\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B }$ $=$ $0$, 因此，矩阵 $\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B }$ 的逆矩阵 $(\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B })^{-1}$ 不存在，即 D 选 项 不 正 确 。
综上可知，本 题 应 选 B 
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
记行列式 $\left| \begin{array} { c c c c } x – 2 & x – 1 & x – 2 & x – 3 \\ 2 x – 2 & 2 x – 1 & 2 x – 2 & 2 x – 3 \\ 3 x – 3 & 3 x – 2 & 4 x – 5 & 3 x – 5 \\ 4 x & 4 x – 3 & 5 x – 7 & 4 x – 3 \end{array} \right|$ 为 $f ( x )$, 则方程 $f ( x )$ $=$ $0$ 的实根的个数是多少？
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
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继续阅读“用行列式表示的方程该怎么求根？”$$
\left| \begin{array} { c c c c c } a _{ 1 } & 0 & 0 & b _{ 1 } \\ 0 & a _{ 2 } & b _{ 2 } & 0 \\ 0 & b _{ 3 } & a _{ 3 } & 0 \\ b _{ 4 } & 0 & 0 & a _{ 4 } \end{array} \right| = ?
$$
(A) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $-$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$
(B) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $+$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$
(C) $\left( a _{ 2 } a _{ 3 } – b _{ 2 } b _{ 3 } \right)$ $\left( a _{ 1 } a _{ 4 } – b _{ 1 } b _{ 4 } \right)$
(D) $\left( a _{ 1 } a _{ 2 } – b _{ 1 } b _{ 2 } \right)$ $\left( a _{ 3 } a _{ 4 } – b _{ 3 } b _{ 4 } \right)$
难度评级：
继续阅读“高阶行列式的计算思路：降阶或者找规律”