一、题目
下面的向量组中，线性无关的是哪个？
(A) $(1,2),(3,4),(5,6)$.
(B) $(1,2,3),(4,5,6),(3,6,9)$.
(C) $(1,2,3),(4,6,5),(7,9,8)$.
(D) $(1,2,3),(0,0,0),(4,7,5)$.
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继续阅读“向量组线性相关的 3 个判断方法和向量组线性无关的 2 个判断方法”分类： 线性代数
这道题用伴随矩阵的性质可以秒解
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, 且 $|\boldsymbol{A}|=-2$, 则 $\left|\frac{1}{3} \boldsymbol{A}^{*} \right|=?$
难度评级：
继续阅读“这道题用伴随矩阵的性质可以秒解”四两拨千斤：把计算代数余子式之和转变为求解行列式的值
一、题目
已知，有行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$, 则该行列式第一行元素的代数余子式之和是多少？
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继续阅读“四两拨千斤：把计算代数余子式之和转变为求解行列式的值”初等变换有可能改变行列式的值吗?
你会使用逆序计算这个行列式吗？
一、题目
$$
D=\left|\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0\end{array}\right| = ?
$$
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继续阅读“你会使用逆序计算这个行列式吗？”利用逆序求 n 阶行列式的值
一、前言 
我们都知道，$3$ 阶行列式是可以利用主副对角线计算出具体数值的，高于 $3$ 阶的 $n$ 阶行列式虽然不能这么计算，但是也有自己的计算公式——借助“逆序”这一工具，我们可以求解任意阶数的行列式的值。
继续阅读“利用逆序求 n 阶行列式的值”Tips
关于逆序数的计算方法， 可以参考《你知道怎么判断一组数字的逆序数吗？》这篇文章。
你知道怎么判断一组数字的逆序数吗？
这道“转置”题，你转晕了嘛？
一、题目
已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维列向量，则以下说法中正确的是哪个？
(i) $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}=\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\top}$
(ii) $\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^{\top} \boldsymbol{\alpha}$
(iii) $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}=\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta}$
(iiii) $\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\top}=\boldsymbol{\beta}^{\top} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}$
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继续阅读“这道“转置”题，你转晕了嘛？”向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关：四个三维列向量一定线性相关
一、题目
下面的向量组中，线性相关的和线性无关的向量组分别是哪些？
(i) $(1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(3,-1,5)^{\mathrm{\top}}$, $(0,4,-2)^{\mathrm{\top}}$, $(1,3,0)^{\mathrm{\top}}$
(ii) $(a, 1, b, 0,0)^{\mathrm{\top}}$, $(c, 0, d, 2,0)^{\mathrm{\top}}$, $(e, 0, f, 0,3)^{\mathrm{\top}}$
(iii) $(a, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(b, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(c, 3,4,5)^{\mathrm{\top}}$, $(d, 0,0,0)^{\mathrm{\top}}$
(iiii) $(1,0,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $(-1,3,0,-2)^{\mathrm{\top}}$, $(2,1,7,2)^{\mathrm{\top}}$, $(4,2,14,5)^{\mathrm{\top}}$
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继续阅读“向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关：四个三维列向量一定线性相关”当原矩阵满秩的时候，伴随矩阵也满秩
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵, 且 $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关, $\boldsymbol{B}$ 是四阶矩阵, 满足 $2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}$. 则 $r\left(\boldsymbol{B}^{*}\right)=?$
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继续阅读“当原矩阵满秩的时候，伴随矩阵也满秩”这道题看似有多种解法，其实只能用行阶梯来做
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\\ 0 & 1 & -1 & a \\\ 2 & 3 & a & 4 \\\ 3 & 5 & 1 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$, 则 $a=?$
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继续阅读“这道题看似有多种解法，其实只能用行阶梯来做”你能看出这个矩阵里面有一个不等于零的二阶子式吗？
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 3 & a & 2 \\ a & 4 & a\end{array}\right]$, 则 $a=-2$ 是 $r(\boldsymbol{A})=2$ 的充分必要条件吗？
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继续阅读“你能看出这个矩阵里面有一个不等于零的二阶子式吗？”又一道判断矩阵秩的题目，不过这次伴随矩阵来了，情况变得有点复杂……
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$, $\boldsymbol{A^{*}}$ 均为三阶非零矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$
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继续阅读“又一道判断矩阵秩的题目，不过这次伴随矩阵来了，情况变得有点复杂……”两个矩阵相乘等于零矩阵的时候，这两个矩阵的秩有什么关系？
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是四阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 那么：
若 $r(\boldsymbol{A})=1$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;
若 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;
若 $r(\boldsymbol{A})=3$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;
若 $r(\boldsymbol{A})=4$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$.
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继续阅读“两个矩阵相乘等于零矩阵的时候，这两个矩阵的秩有什么关系？”这道题是在考“秩”吗？不！考的是矩阵的子式
一、题目
已知 $a$ 是任意常数, 下列矩阵中秩有可能不等于 3 的是哪一个矩阵？
(A) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a-1\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & a+1\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 & a+1\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a+1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 a+2\end{array}\right]$
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继续阅读“这道题是在考“秩”吗？不！考的是矩阵的子式”