矩阵的运算千万不能直接套用数字的运算规律

一、题目

已知 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{3}=(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{3}$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}=?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$
(A+E)^{3}=(A-2 E)^{3} \nRightarrow A+E=A-2 E
$$

因此，我们只能按部就班的展开：

$$
(A+E)^{3}=(A+E)^{2}(A+E)=
$$

$$
\left(A^{2}+E+2 A\right)(A+E)=A^{3}+A^{2}+A+E+2 A^{2}+2 A=
$$

$$
A^{3}+3 A^{2}+3 A+E
$$

且：

$$
(A-2 E)^{3}=(A-2 E)^{2}(A-2 E)=
$$

$$
\left(A^{2}+4 E-4 A\right)(A-2 E)=A^{3}-2 A^{2}+4 A-8 E-4 A^{2}+8 A =
$$

$$
A^{3}-6 A^{2}+12 A-8 E
$$

$$
(A-2 E)^{3}=(A-2 E)^{2}(A-2 E)=
$$

$$
\left(A^{2}+4 E-4 A\right)(A-2 E)=A^{3}-2 A^{2}+4 A-8 E-4 A^{2}+8 A =
$$

$$
A^{3}-6 A^{2}+12 A-8 E
$$

于是：

$$
A^{3}+3 A^{2}+3 A+E=A^{3}-6 A^{2}+12 A-8 E \Rightarrow
$$

$$
9 A^{2}-9 A=-9 E \Rightarrow A-A^{2}=E \Rightarrow A(E-A)=E
$$

综上可知：

$$
A^{-1}=E-A
$$

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