一、题目
单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶置换矩阵，$\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则（ ）
»A« $\boldsymbol{A}^{*}$ 为置换矩阵
»B« $\boldsymbol{A}^{-1}$ 为置换矩阵
»C« $\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{*}$
»D« $\boldsymbol{A}^{-1} = -\boldsymbol{A}^{*}$
难度评级：
二、解析
传统解法
首先，根据《什么是置换矩阵？》这篇讲义，可设：
$$
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}} \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}}
$$
接着，由初等矩阵的性质可知：
$$
\begin{aligned}
& \left(\boldsymbol{E}_{ij}\right)^{\top} = \boldsymbol{E}_{ij} \\ \\
& \left(\boldsymbol{E}_{ij}\right)^{-1} = \boldsymbol{E}_{ij}
\end{aligned}
$$
于是：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{-1} & = \left( \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}} \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}} \right) \\ \\
& = \left(\boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}}\right)^{-1} \cdots \left(\boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}}\right)^{-1} \cdot \left(\boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}}\right)^{-1} \\ \\
& = \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}}
\end{aligned}
$$
因此可知，$\boldsymbol{A}^{-1}$ 仍为置换矩阵，B 选项正确.
此外，由伴随矩阵的运算性质可得：
$$
\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1} = (-1)^{n} \boldsymbol{A}^{-1}
$$
即：
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $n$ 为偶数时，$\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{*}$， 且 $\boldsymbol{A}^{*}$ 为置换矩阵；
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $n$ 为奇数时，$\boldsymbol{A}^{-1} = -\boldsymbol{A}^{*}$, 且 $\boldsymbol{A}^{*}$ 不是置换矩阵.
因此，选项 A, 选项 C 和选项 D 都不完全正确.
峰式解法
由「荒原之梦考研数学」的《初等变换求逆法的形象理解》可知，从矩阵 $\boldsymbol{A}$ 到其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的过程中，需要经过相对于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 相反的初等变换，但由于从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 到置换矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的过程中只经过了对换操作，因此，从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 到逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的过程中也只需要进行（相反的）对换操作，所以，逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 一定是一个置换矩阵，B 选项正确.
由于 $\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1}$, 所以，$\boldsymbol{A}^{*}$ 和 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 之间是需要经过数乘运算的，虽然 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 一定是置换矩阵，但只有当 $\begin{vmatrix}
A
\end{vmatrix} = 1$ 时，伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 才是置换矩阵，A 选项错误.
由于置换矩阵是由对换操作得到的，每进行一次对换操作，行列式的取值都要乘以 $-1$, 又由于 $\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1}$, 但是 $\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix}$ 的正负不确定，所以 C 选项和 D 选项都不正确.
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