线性代数归档 - 荒原之梦

一、题目

已知 $A$ $=$ $E - 2 α α^{⊤}$ , $α$ 为 $n$ 维列向量，且 $α^{⊤} α$ $=$ $1$ , 则：

$A^{2 n} = ?$

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一、前言

当矩阵的乘法和转置运算结合的时候，有如下运算律：

$(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$

从上面这条定理出发，我们可以验证任意多个矩阵相乘时的转置运算律。例如，若令矩阵 $B$ $=$ $C D$ , 则：

$\begin{aligned} (A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤} \\ \Rightarrow & [A (C D)]^{⊤} = (C D)^{⊤} A^{⊤} \\ \Rightarrow & [A C D]^{⊤} = D^{⊤} C^{⊤} A^{⊤} \end{aligned}$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用原创的“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律。

Note

作为对比，可以发现，用传统数学方法完成的证明过程会显得较为繁琐：链接 1、链接 2.
zhaokaifeng.com

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一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一般具体的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$

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一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用完全抽象的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$

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一、前言

在矩阵的转置运算中，参与运算的矩阵必须是 $n \times n$ 阶的方阵吗？

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对抽象矩阵/行列式的计算，要尽可能“拖延”代入具体数值的时间

一、题目

已知 $A$ , $B$ 是三阶方阵，且满足等式 $A^{2} B$ $-$ $A$ $-$ $B$ $=$ $E$ , 若 $A$ $=$ $[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 2 & 0 & 1 \end{matrix}]$ , 则：

$| \begin{matrix} B \end{matrix} | = ?$

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一、前言

在「荒原之梦考研数学」的另一篇文章《矩阵/行列式的一个优化策略》中，我们首次提出了在包含多个 $0$ 元素的矩阵/行列式中的一个优化策略，那么，如果初始的矩阵/行列式中没有 $0$ 元素，或者只有少量的 $0$ 元素该怎么办呢？

在本文中，我们将以矩阵/行列式的主对角线为基准，通过元素复杂度梯度排列的方式，给同学们提供一种适用性更广泛的矩阵/行列式化简的方法。

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一、前言

在对高阶行列式进行计算的时候，其中一种计算方式就是“升阶”，也就是将原来的 $n$ 阶行列式升为 $n + 1$ 阶行列式。

那么，什么样的行列式可以尝试升阶操作？怎么进行升阶操作？升阶之后该怎么进行接下来的计算呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将就以上问题为同学们详细讲解。

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一、前言

大部分时候，在对矩阵或者行列式进行运算的时候，我们都倾向于通过初等变换使得矩阵/行列式中产生更多的 $0$ 元素，或者说倾向于将矩阵/行列式中的非 $0$ 元素消为 $0$ 元素（在本文中，我们将这一类操作简称为“消 $0$ ”）。

那么，在消 $0$ 的时候，有什么注意事项呢？该采取什么样的策略，才能尽可能又快又多地消出来更多的 $0$ 元素呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解。

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一、前言

求解逆矩阵是线性代数中的一个基本知识点。在考试时的时候，要求解的逆矩阵一般是二阶或者三阶的矩阵，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们一个二阶矩阵的快速求逆公式以及该公式的记忆方法。

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一、题目

已知：
$\begin{aligned} D & = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | \\ D_{1} & = | \begin{array}{c} 2 a_{11} & 2 a_{12} & 2 a_{13} \\ 2 a_{21} & 2 a_{22} & 2 a_{23} \\ 2 a_{31} & 2 a_{32} & 2 a_{33} \end{array} | \end{aligned}$

则：
$D_{1} = ?$

[A]. $2 D$

[C]. $2^{9} D$

[B]. $2^{3} D$

[D]. $2 \cdot 3 D$

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借助函数或数列的思想研究向量的变化过程

一、题目

已知 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{s}$ （其中 $s ⩽ n$ ）是一组 $n$ 维列向量， $A$ 是 $n$ 阶矩阵。如果：

$\begin{aligned} A α_{1} = α_{2}, \\ A α_{2} = α_{3}, \\ \dots, \\ A α_{s - 1} = α_{s} \neq 0, \\ A α_{s} = 0 \end{aligned}$

请证明向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{s}$ 线性无关。

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计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪”

一、题目

$D = | \begin{matrix} a_{0} & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & a_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & a_{2} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & \dots \\ 1 & 0 & 0 & \dots & a_{n - 1} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_{n} \end{matrix} | = ?$

难度评级：

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“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助几何中“两点之间确定一条直线”的思想，帮助同学们理解什么时候可以使用特例法求解题目答案。

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乘法运算中的矩阵一般不可以“自由流动”，但单位矩阵可以

一、题目

已知 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶矩阵，且：

$A B = E$

则：

$A [E - A {(E + A^{⊤} B^{⊤})}^{- 1} B] B = ?$

难度评级：

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分类：线性代数

峰式特例法：所有 $n$ 维向量都可以尝试假定为一维向量

一、题目

用“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

用一般具体的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

用完全抽象的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

转置运算中的矩阵必须是方阵吗？

一、前言

对抽象矩阵/行列式的计算，要尽可能“拖延”代入具体数值的时间

一、题目

基于主对角线元素复杂度梯度的矩阵/行列式化简策略

一、前言

投石问路：线性代数中的升阶法详解

一、前言

矩阵/行列式消 $0$ 的一个优化策略

一、前言

二阶矩阵的快速求逆公式

一、前言

对行列式中系数的提取要以行或者列为单位进行

一、题目

借助函数或数列的思想研究向量的变化过程

一、题目

计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪”

一、题目

“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用

一、前言

乘法运算中的矩阵一般不可以“自由流动”，但单位矩阵可以

一、题目