根据荒原之梦网的《高等数学中常用的等价无穷小》这篇文章可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，有：
$$
\begin{cases}
& (1 + x)^{a} \sim ax; \\
& \sin x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x \sim x.
\end{cases}
$$
其中，$a$ 为常数。
在实际应用中，我们可以将上面的等价无穷小组合起来，形成新的“变体”，在本文中，将给出几个相关的例子。
继续阅读“等价无穷小的组合变体：以 $(1 + x)^{a} \sim ax$ 为例”
已知 $a, b, c$ 均为非零常数，则：
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a + b \textcolor{orange}{e^{\frac{1}{x}}}}{a – b \textcolor{orange}{e^{\frac{1}{x}}}} \cdot \frac{\sin cx}{|x|} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“遇到关于 e 的函数式一定要注意“正负””已知函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续，且有 $f(1) = 1$, 则 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\ln [ 2 + f(x^{\frac{1}{x}}) ]$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“巧设特例，秒解题：一定要保证特例符合题意”在本文中，荒原之梦网提供了两道“由一个形式的极限推导另一个形式的极限”的典型题目——
对于这类问题，我们有两种解决思路：
在本文中，我们将看到对上面这两种思路的应用。
继续阅读“由一个形式的极限推导另一个形式的极限：以两道典型题目为例”已知 $x_{0}$ $=$ $0$, 且 $x_{n}$ $=$ $\frac{1 + 2 x_{n-1}}{1 + x_{n-1}}$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$, 则 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“单调有界即收敛，设出极限求极限”$$
\lim_{n \rightarrow \infty} n^{2} \big( \arctan \frac{2}{n} – \arctan \frac{2}{n+1} \big) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“三种方法解一道数列极限题”$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } x^{a} \ln (x^{2} + x) = ?
$$
其中，$a > 0$.
难度评级：
继续阅读“用拆分对数函数和洛必达运算求解一道极限题”$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} ( 2^{\frac{1}{x}} – 2^{\frac{1}{x + 1}} ) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“看到无穷大，就要想转为无穷小：因为无穷小能用的解题工具更多”$$
\lim_{x \rightarrow \infty} ( e^{x^{2}} + x^{3} )^{\frac{1}{x^{2}}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“指数函数的增长速度远大于幂函数——你会区分指数函数和幂函数吗？”$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 – \sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{\sin^{2} x^{2}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“消根号的思路之“次幂归一”法”本文将介绍一种通用的方法，可以计算出当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，所有 $1$ $-$ $(\cos cx)^{\frac{b}{a}}$ 类型式子的等价无穷小。
难度评级：
继续阅读“对涉及 cos x 的等价无穷小的解题方法总结”$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin(xt)}{t} \mathrm{d} t }{x^{2}} = ?
$$
难度评级：
graph TB A1(含有变限积分) A2(含有极限) A1 --> A11(x 在上下限中) A11 --> B1(将 x 视为常数) A1 --> A12(t 为积分变量) A12 --> B2(将 t 视为变量) B1 --> C1(要将常数移动到被积函数外部) B2 --> C2(明确变量的取值范围) C1 --> D1(进行变量替换) C2 --> D1 D1 --> E1(洛必达运算, 去除积分符号) A2 --> E1 E1 --> F1(舍去更小的无穷小) F1 --> G1(解出答案)继续阅读“变限积分积分中的不同变量该怎么对待？”
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \big( \sqrt{x^{2} + x} – \sqrt{x^{2} – x} \big) = ?
$$
难度评级：
graph TB A(无理式) --> B(分子有理化) B --> C1(保留较大的无穷大) B --> C2(舍去较小的无穷小) C1 --> D(解出答案) C2 --> D继续阅读“有理化的两种计算方式：保无穷大或者舍无穷小”
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \big( \sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \big)^{x} = ?
$$
难度评级：
已知 $f(x + \frac{1}{x})$ $=$ $x^{2}$ $+$ $\frac{1}{x^{2}}$, 求解 $\lim_{x \rightarrow 3}$ $f(x)$.
难度评级：
继续阅读“多角度思考解题思路：以一道变量代换题目为例”