一、题目
$$
\int \frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x} \mathrm{d} x = ?
$$
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继续阅读“巧用三角函数凑微分,化不同为相同:$\int$ $\frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x}$ $\mathrm{d} x$”$$
\int \frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x} \mathrm{d} x = ?
$$
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继续阅读“巧用三角函数凑微分,化不同为相同:$\int$ $\frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x}$ $\mathrm{d} x$”在本文中,我们将讨论形如下面这样的,由三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 线性组合所得的分式的积分的通用解法:
$$
\int \frac{c \sin x + d \cos x}{a \sin x + b \cos x} \mathrm{d} x
$$
其中,$a$, $b$, $c$, $d$ 为常数。
相关例题:
《加加减减,凑凑拆拆:$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$》
继续阅读“求解 $\sin$ 与 $\cos$ 线性组合分式积分的通用解法”方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足 $y(0)$ $=$ $0$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $1$ 的特解是多少?
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继续阅读“求解 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足指定条件的特解”求解下面这个函数的全微分:
$$
z = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}
$$
难度评级:
继续阅读“求解 $z$ $=$ $\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的全微分”$$
\int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x = ?
$$
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继续阅读“加加减减,凑凑拆拆:$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$”已知 $f(\ln x)$ $=$ $\frac{\ln(1+x)}{x}$, 则:
$$
\int f(x) \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级:
继续阅读“只要整体替换,全都可以替换:已知 $f(\ln x)$ $=$ $\frac{\ln(1+x)}{x}$, 求 $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$”$$
\int \frac{1}{1+e^{x}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级:
继续阅读“巧用 $e^{x}$ 之两种方法解 $\int$ $\frac{1}{1+e^{x}}$ $\mathrm{d} x$”$$
\int \frac{1}{x + x^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级:
继续阅读“乘法变减法,轻松化“尴尬”:$\int$ $\frac{1}{x+x^{2}}$ $\mathrm{d} x$”$$
\int e^{x} \arcsin \sqrt{1-e^{2x}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级:
继续阅读“适时而止,更简单:$\int$ $e^{x}$ $\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}$ $\mathrm{d} x$”$$
\int \sqrt{x} \mathrm{d} x = ?
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x = ?
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1-x}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级:
继续阅读“披着根号外衣的幂函数积分”$$
\int \frac{\arcsin \sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级:
继续阅读“存在两类及以上不同函数的式子就尝试用分部积分:$\int$ $\frac{\arcsin \sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$”