一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上可导且有 $n$ 个不同的零点: $0<x_{1}<x_{2}< \cdots <x_{n}$, 则 $f(x)+f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可能有多少个零点？
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继续阅读“罗尔定理还可以用于判断函数零点的个数哦”分类： 高等数学
罗尔配拉格：罗尔定理是拉格朗日中值定理的前奏
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 二阶可导，且 $f(a)=f(b)$, $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b)$ 连续, $f_{+}^{\prime}(a)<0$, 则，是否 $\exists \ \xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)>0$ 成立？
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继续阅读“罗尔配拉格：罗尔定理是拉格朗日中值定理的前奏”方程的根就是对应的函数的零点
一、题目
方程 $x^{2}-x \sin x-\cos x=0$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 内有没有根？如果有根的话，有几个根？
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继续阅读“方程的根就是对应的函数的零点”再复杂的零点个数问题也有简单的思路：利用一阶导函数和关键点的函数值确定函数图像的大致走向并判断函数与 X 轴的交点个数
一、题目
已知常数 $0<b<\frac{1}{\mathrm{e}}$, $f(x)=\ln x-x^{b}$, 则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 区间内的零点个数是多少？
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继续阅读“再复杂的零点个数问题也有简单的思路：利用一阶导函数和关键点的函数值确定函数图像的大致走向并判断函数与 X 轴的交点个数”对复合函数做偏导运算的时候一定要在最终结果中替换掉所有中间函数的符号
一、题目
已知 $z=u^{2} \cos v$, $u=x y$, $v=2 x+y$, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}=?$, $\frac{\partial z}{\partial y}=?$
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继续阅读“对复合函数做偏导运算的时候一定要在最终结果中替换掉所有中间函数的符号”改变变量所用的表示符号不会改变函数本身
一、题目
已知 $f(x+y, x y)$ $=$ $x^{2}+y^{2}$, 则 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=?$
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继续阅读“改变变量所用的表示符号不会改变函数本身”这道题要用凑微分和分部积分：但是别着急上来就用哦
一、题目
$$
I=\int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{~ d} x=?
$$
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继续阅读“这道题要用凑微分和分部积分：但是别着急上来就用哦”做这道关于 $e^{x}$ 的题目你会“卡住”吗？
定点处的高阶导数：尝试泰勒公式（附常用麦克劳林公式的求和版写法）
一、题目
已知 $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+2 x+4 x^{2}}$, 则 $f^{(100)}(0)=?$
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继续阅读“定点处的高阶导数：尝试泰勒公式（附常用麦克劳林公式的求和版写法）”一点处导数不存在的时候也可以通过导数判断该点处的连续性
一、题目
已知 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0, \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续吗？可导吗？
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继续阅读“一点处导数不存在的时候也可以通过导数判断该点处的连续性”用柯西中值定理的时候怎么在已知一个函数的情况下凑出来另一个函数？反推即可
一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$.
请证明：存在 $\eta \in(1,2)$, 使 $f(2)=\ln 2 \cdot \eta e^{\eta^{2}}$ 成立。
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继续阅读“用柯西中值定理的时候怎么在已知一个函数的情况下凑出来另一个函数？反推即可”证明中值等式成立问题的两种思路：构造函数后用零点定理或罗尔定理
一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$
请证明：存在 $\xi \in(1,2)$, 使 $f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^{2}}$ 成立。
难度评级：
继续阅读“证明中值等式成立问题的两种思路：构造函数后用零点定理或罗尔定理”泰勒公式总是在你没有思路的时候出手相救——可尝试泰勒公式的特征：两量相减，有 1 次幂和 2 次幂
一、题目
证明下面的不等式：
$$
\left|\frac{\sin x-\sin y}{x-y}-\cos y\right| \leq \frac{1}{2}|x-y|, \quad (x \neq y)
$$
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继续阅读“泰勒公式总是在你没有思路的时候出手相救——可尝试泰勒公式的特征：两量相减，有 1 次幂和 2 次幂”最值点处导函数的性质汇总
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导, $f(a)=\max _{[a, b]} f(x)$, 则 $f^{\prime}(a)$ 与 $0$ 之间存在怎么样的关系？
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继续阅读“最值点处导函数的性质汇总”最值不一定产生于极值点处
一、题目
已知 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 $3$, 最小值是 $-29$, 且 $a>0$, 则 $a = ?$, $b = ?$
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继续阅读“最值不一定产生于极值点处”