一、题目
对于任意 $x$, 存在 $\theta \in(0,1)$, 使得 $\mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{\theta x}$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \theta=?$
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继续阅读“变量 x 的取值任意？那还怎么用等价无穷小？”分类： 高等数学
你能找出来这个隐藏在定积分下的函数吗？
一、题目
已知 $f(x)=\int_{0}^{1} \ln \sqrt{x^{2}+t^{2}} \mathrm{~d} t$, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 点处连续吗？可导吗？
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继续阅读“你能找出来这个隐藏在定积分下的函数吗？”二元函数的可微性你会证明吗：偏导数都存在也不一定可微哦
题目 01
已知 $f(x, y)$ $=$ $\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？
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继续阅读“二元函数的可微性你会证明吗：偏导数都存在也不一定可微哦”判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！
一、前言 
如果二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的偏导数 $f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0})$ 以及 $f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0})$ 都存在，且下面这个式子的极限值为零，则表明该该二元函数在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处可微：
$$
\textcolor{orange}{
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{[f(x_{0} + \Delta x, y_{0} + \Delta y) – f(x_{0}, y_{0})] – [f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0}) \Delta x + f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0}) \Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}}
}
$$
但是，上面这个式子你能记住吗？
其实，你已经记住上面这个式子了，不信就继续看下文吧。
继续阅读“判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！”二元函数求极限的时候也可以利用整体换元代换
一、题目
$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0.0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) = ?
$$
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继续阅读“二元函数求极限的时候也可以利用整体换元代换”什么时候二元函数的极限不存在：沿不同直线或者曲线极限值不相等时
一、题目
二元函数 $f(x, y)$ $=$ $\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？
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继续阅读“什么时候二元函数的极限不存在：沿不同直线或者曲线极限值不相等时”怎么证明二元函数的极限存在：用放缩法
一、题目
二元函数 $f(x, y)=\begin{cases}
& \frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\
& 0, & (x, y)=(0,0)
\end{cases}$, 在点 $(0,0)$ 处是否连续？$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是否存在？
难度评级：
继续阅读“怎么证明二元函数的极限存在：用放缩法”这道题没说函数可导，所以就不能求导了嘛？
一、题目
已知函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x)=\cos 2 x-4 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$, 则 $f(x)=?$
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继续阅读“这道题没说函数可导，所以就不能求导了嘛？”一层一层剥洋葱：从可降阶微分方程到变量可分离的微分方程再到另一个变量可分离的微分方程
一、题目
初值问题 $\left\{\begin{array}{l}1+\left(y^{\prime}\right)^{2}=2 y y^{\prime \prime}, \\ y(1)=1, y^{\prime}(1)=-1\end{array}\right.$ 的特解是（）
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继续阅读“一层一层剥洋葱：从可降阶微分方程到变量可分离的微分方程再到另一个变量可分离的微分方程”你知道怎么求解这个隐藏在偏微分方程后面的一阶线性微分方程吗
一、题目
已知 $f(x)$ 具有一阶连续导数, $f(0)=0, \mathrm{~d} u(x, y)$ $=$ $f(x) y \mathrm{~d} x+[\sin x-f(x)] \mathrm{~d} y$, 则 $f(x)$ 等于（）
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继续阅读“你知道怎么求解这个隐藏在偏微分方程后面的一阶线性微分方程吗”怎么判断微分方程是线性的？这里有三个判断条件和一道典型例题
一、题目
下面哪些是线性微分方程：
(1) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(\sin x) y+\mathrm{e}^{x}$
(2) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x \sin y+\mathrm{e}^{x}$
(3) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\sin x+\mathrm{e}^{y}$
(4) $x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\cos y+1$
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继续阅读“怎么判断微分方程是线性的？这里有三个判断条件和一道典型例题”已知解的情况下确定二阶常系数齐次线性微分方程中的未知数
一、题目
已知 $y^{*}$ $=$ $\mathrm{e}^{-2 x}$ $+$ $(x^{2}$ $+$ $2) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $a y^{\prime}$ $+$ $b y$ $=$ $(c x + d) \mathrm{e}^{x}$ 的一个解，方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是多少？
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继续阅读“已知解的情况下确定二阶常系数齐次线性微分方程中的未知数”判断一下这个加了绝对值得函数是否可导
如何判断一个函数的绝对值在某点处是否可导？一个简单的例子就可以让你记住相关定理
当变量趋于无穷大的时候，有关的量也可能变得无关：极限下的情况不能用有限时的思维判断
一、题目
已知 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y(x)$ 与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 有关吗？
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继续阅读“当变量趋于无穷大的时候，有关的量也可能变得无关：极限下的情况不能用有限时的思维判断”