高等数学

一、题目

设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆为 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 为 $x^{2}$ 的 ( )

(A) 高阶无穷小

(B) 低阶无穷小

(D) 同阶但不等价无穷小

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一、题目

已知，曲线 $y = f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{~d} t = x^{2} + f(x)$, 求 $f(x)$ 的表达式。

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2023年考研数二第08题解析：伴随矩阵的性质在分块矩阵上的推广

一、题目

设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵, $M^{*}$ 为矩阵 $M$ 的伴随矩阵,则 $\left(\begin{array}{ll}A & E \\ O & B\end{array}\right)^{*}=(\quad)$

(A) $\left(\begin{array}{cc}|A| B^{*} & -B^{*} A^{*} \\ 0 & A^{*} B^{*}\end{array}\right)$

(B) $\left(\begin{array}{cc}|A| B^{*} & -A^{*} B^{*} \\ 0 & |B| A^{*}\end{array}\right)$

(D) $\left(\begin{array}{cc}|B| A^{*} & -A^{*} B^{*} \\ 0 & |A| B^{*}\end{array}\right)$

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2023年考研数二第07题解析：极值点与拐点和一阶导二阶导之间的关系

一、题目

设函数 $f(x)=\left(x^{2}+a\right) e^{x}$, 若 $f(x)$ 没有极值点, 但曲线 $y=f(x)$ 有拐点, 则 $a$ 的取值范围是( )

(A) $[0,1)$

(B) $[1,+\infty)$

(D) $[2,+\infty)$

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2023年考研数二第06题解析：换元积分、指数函数的求导法则

一、题目

若函数 $f(\alpha)=\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}} \mathrm{~d} x$ 在 $\alpha=\alpha_{0}$ 处取得最小值, 则 $\alpha_{0}=?$

A. $-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$

C. $\frac{1}{\ln 2}$

B. $-\ln (\ln 2)$

D. $\ln 2$

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2023年考研数二第05题解析：参数方程求导、导数存在性定理

一、题目

设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t| \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定, 则 ( )

(A) $f(x)$ 连续, $f^{\prime}(0)$ 不存在

(B) $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

(D) $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

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一、题目

已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界, 则 $a, b$ 的取值范围为 ( )

(A) $a<0, b>0$

(B) $a>0, b>0$

(D) $a=0, b<0$

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一、题目

设数列 $\left\{x_{n}\right\} ，\left\{y_{n}\right\}$ 满足 $x_{1}=y_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\sin x_{n}, y_{n+1}=y_{n}^{2}$, 当 $n \rightarrow \infty$ 时 ( )

(A) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的高阶无穷小

(B) $y_{n}$ 是 $x_{n}$ 的高阶无穷小

(D) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的同阶但非等价无穷小

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一、题目

函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的原函数为 ( )

(A) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$

(B) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$

(C) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$

(D) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$

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一、题目

$y=x \ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程是 ( )

(A) $y=x+e$

(B) $y=x+\frac{1}{e}$

(D) $y=x-\frac{1}{e}$

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一、前言

解决高等数学中的极限问题用什么方法？

配项？凑项？拆分？

上面这些方法都有很强的技巧性，而且也并不适合所有极限类型的题目。

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导数不存在不一定没有切线：导数不能以极限的形式存在，但是切线可以以极限的形式存在

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{x}, & x \geqslant 0 \\ \sqrt{-x}, & x<0\end{array}\right.$, 则：

(A) $f(x)$ 在 $x=0$ 不连续

(B) $f^{\prime}(0)$ 存在

(D) $f^{\prime}(0)$ 不存在, 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,0)$ 有切线

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一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{x} \ln \left(1+x^{3}\right) \sin \frac{1}{x}, & x>0 \\
-0, & x=0, \\
\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~d} t, & x<0
\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处：

(A) 不连续

(B) 连续但不可导

(D) 可导且导函数连续

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二、解析

首先：

$$
\left(\int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t\right)_{x}^{\prime}=2 x \sin x^{2} \sim k x^{3} \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t \sim k x^{4}
$$

所以：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{3}}{x} \sin \frac{1}{x}=0
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x} \int_{0}^{x^{3}} \sin t \mathrm{~ d} t \approx \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} x^{3}=0
$$

于是可知，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

又：

$$
f^{\prime}\left(0^{+}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-0}{x}=0
$$

$$
f^{\prime}\left(0^{-}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-0}{x}=0
$$

于是可知，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导。

但是，由于：

$$
\left(\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t\right)_{x}^{\prime}=\frac{-1}{x^{2}} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t+\frac{1}{x} \cdot 2 x \sin x^{2} \neq 0
$$

于是可知，$f(x)$ 的导数在 $x = 0$ 处不连续。