分类： 高等数学

一、题目

下面四个命题哪个是错误的：

(1) 数列极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ $\Leftrightarrow$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$. 其中 $l$ 为某个确定的正整数.

(2) 数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛 (即存在极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ), 则 $x_{n}$ 有界.

(3) 数列极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\Leftrightarrow$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$.

(4) 数列 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ $\Leftrightarrow$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}$ $=$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$.

难度评级：

继续阅读“你能看出来下面关于数列极限的四个命题哪个是错误的吗？”

一、前言

你知道对于数列 $x_{n}$ 而言，$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ 蕴含着多少知识吗？

继续往下看，会让你对数列极限的理解更上一层楼。

继续阅读“关于数列极限比值的那些事”

一、题目

$$
I=\int_{0}^{1} x^{4} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x=?
$$

难度评级：

继续阅读“有根号有平方：三角代换用起来！”

一、题目

$$
I=\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=?
$$

难度评级：

继续阅读“配方法和代换法：你会用哪种方法做这道题？”

一、前言

在考研数学中，有些题目可以使用配方法对原式进行恒等变形，从而挖掘出解题的隐含条件——用好配方法，可以大大加快解题速度。

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将用简单有效的表述阐述清楚什么是配方法，以及如何使用配方法。

难度评级：

继续阅读“挖掘题目隐含条件的利器：配方法”

一、题目

已知 $f(x)$ 一阶可导, $f(x)>0$, $f^{\prime}(x)>0$, 则当 $\Delta x>0$ 时，$\int_{x}^{x + \Delta x} f(t) \mathrm{d} t$, $f(x) \Delta x$ 和 $0$ 的大小关系如何？

难度评级：

继续阅读“这个不等式反映了积分的本质原理”

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$, 则 $F(x)$ 在 $(-1,1)$ 区间上具有什么特征？

难度评级：

继续阅读“有界震荡间断点处是可积的”

一、题目

已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数, 则据此能得出 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内的哪些性质？

难度评级：

继续阅读“原函数和导数之间的那些性质都在这道题里了”

一、前言

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）介绍了快速判断一个函数是否存在原函数的三个方法。

继续阅读“如何判断一个函数是否存在原函数”

一、题目

证明下面两个式子是成立的：

1.

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x<1
$$

2.

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>1
$$

难度评级：

继续阅读“你会判断积分不等式和某个数字之间的大小关系吗？”

一、题目

证明下面两个结论：

1.

$$
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>0
$$

2.

$$
\int_{0}^{2 \pi} \cos x \cdot \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x>0
$$

难度评级：

继续阅读“你会判断积分不等式的正负性吗？”

一、前言

我们知道，当 $f(-x) = f(x)$ 时，该函数是偶函数，当 $f(-x) = -f(x)$ 时，该函数是奇函数。

但是，对于一些复杂的函数，直接使用上面的公式判断会过于复杂——如果理解并掌握了本文中提到的口诀，在很多时候可以帮助我们快速判断一些函数的奇偶性。

继续阅读“快速判断函数奇偶性的方式汇总（包含易记口诀）”

一、题目

已知 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$, 则 $f^{\prime}(1)=?$

难度评级：

继续阅读“这道题看似是一道变限积分求导题，其实是一道二重积分计算题”

一、题目

已知 $f(0)=0$, $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数,则函数 $g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$, $+\infty)$ 上是单调递增还是单调递减？

难度评级：

继续阅读“你能看出这道题该用哪个中值定理吗？”

一、题目

已知常数 $a>1$, $y=x$ 为曲线 $y=a^{x}$ 的切线, 则 $a$ 等于多少，切点是多少？

难度评级：

继续阅读“想求解这个答案需要猜一猜”