一、题目
下面式子的极限存在吗？如果极限存在，则极限等于多少？
$$
I = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { x } { \sqrt { 1 – \cos ( a x ) } }
$$
其中，$0$ $<$ $| a |$ $<$ $\pi$
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继续阅读“趋于“零”就要考虑趋于“零负”和趋于“零正”两种情况”趋于“零”就要考虑趋于“零负”和趋于“零正”两种情况
一、题目
分类： 高等数学
趋于“无穷大”就要考虑趋于“负无穷大”和趋于“正无穷大”两种情况
一、题目
$$
I = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 x ^ { 3 } + 3 } } { \sqrt { 3 x ^ { 2 } – 2 } } = ?
$$
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继续阅读“趋于“无穷大”就要考虑趋于“负无穷大”和趋于“正无穷大”两种情况”构造函数的另一种思路：把两个未知中的其中一个看作函数自变量
一、题目
已知 $b$ $>$ $a$ $>$ $0$, 请证明：
$$
\frac { \ln b – \ln a } { b – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$
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继续阅读“构造函数的另一种思路：把两个未知中的其中一个看作函数自变量”一个常用不等式的不常见证明：1/b > 2a/(a^2 + b^2)
一、题目
已知 $a$ $<$ $b$, 请证明：
$$
\frac { 1 } { b } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$
难度评级：
继续阅读“一个常用不等式的不常见证明：1/b > 2a/(a^2 + b^2)”有些式子虽然带着 “f”, 但有可能要看作常数处理
一、题目
已知，对于函数 $f(x)$, 其在 $x = a$ 点处的二阶导 $f ^ { \prime \prime } ( a )$ 存在，在 $x = a$ 处的一阶导 $f ^ { \prime } ( a ) \neq 0$, 则：
$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim _ { x \rightarrow a } \left[ \frac { 1 } { f ( x ) – f ( a ) } – \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( a ) ( x – a ) } \right] = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“有些式子虽然带着 “f”, 但有可能要看作常数处理”等价无穷大替换公式
做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势
一、题目
已知，函数 $f ( x )$ 连续，$f ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime } ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime \prime } ( 0 )$ $\neq$ $0$, 则：
$$
I = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { x } t f ( x – t ) \mathrm { d } t } { x \int _ { 0 } ^ { x } f ( x – t ) \mathrm { d } t } =?
$$
Note
关于思维定势的分析，可以查阅荒原之梦考研数学的原创文章：《思维定势：让我们既爱又恨》
zhaokaifeng.com
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继续阅读“做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势”看似高深的题目，用的也是最朴素的基本方法
一、题目
已知，函数 $f ( x )$ 是周期为 $2$ 的连续函数。请证明：
方程 $f ( x )$ $-$ $f ( x – 1 )$ $=$ $0$ 在任意一个长度为 $1$ 的闭区间 $[ a , a + 1 ]$ 上都至少有一个实根。
难度评级：
继续阅读“看似高深的题目，用的也是最朴素的基本方法”这道题该提取 x 还是 -x 呢？
一、题目
$$
I = \lim _{ x \rightarrow – \infty } \frac { \sqrt { 4 x ^ { 2 } + x + 1 } + x + 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + \sin x } } = ?
$$
难度评级：
继续阅读“这道题该提取 x 还是 -x 呢？”如果用夹逼定理没思路，可以先展开求和符号
一、题目
已知 $u _ { n } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + i } }$, 则：
$$
\lim _ { n \rightarrow \infty } u _ { n } = ?
$$
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继续阅读“如果用夹逼定理没思路，可以先展开求和符号”减法运算中常用的等价无穷小公式汇总
一、前言 
我们知道，涉及无穷小量的除法运算可以用洛必达等方法辅助解决，涉及无穷小量的乘法运算也有很多辅助解决的方法，但由于加减运算没有乘除运算对无穷量的作用力度强，所以，有时候我们突然遇到无穷小量之间的的减法运算（如果是加法运算可以转换为减法运算）时，可能会觉得无从下手。
其实，减法运算也有很多等价无穷小的运算公式，荒原之梦考研数学在这里给同学们做一个汇总。
继续阅读“减法运算中常用的等价无穷小公式汇总”有些表述看上去像是定义的一个特例，其实确实定义的等价表述
一、题目
“对任意的 $\varepsilon \in ( 0 , 2 )$, 总存在正整数 $N$, 当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left| x _{ n } – a \right|$ $\leqslant 3$ $\varepsilon$” 是数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 收敛于 $a$ 的什么条件？
(A)充分非必要条件
(B)必要非充分条件
(C)充分必要条件
(D)非充分非必要条件
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继续阅读“有些表述看上去像是定义的一个特例，其实确实定义的等价表述”求导不会改变函数周期，但如果自变量变了那就不一定了
一、题目
已知函数 $f ( x )$ 在区间 $( – \infty , + \infty )$ 内可导，且是以 $T$ 为周期的周期函数，则函数 $f ^ { \prime } ( a x + b )$ （其中 $a \neq 0$, 且 $a$, $b$ 为常数）的周期是多少？
(A) $T$
(B) $T – b$
(C) $T / | a |$
(D) $T / a$
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继续阅读“求导不会改变函数周期，但如果自变量变了那就不一定了”有些无穷小虽然是无穷小，但却不能用无穷小的相关公式
一、题目
$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { \cos 2 x – \cos x } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“有些无穷小虽然是无穷小，但却不能用无穷小的相关公式”用简化公式快速记住三角函数的和差化积与积化和差公式（荒原之梦考研数学原创）
一、前言
由于不经常使用，三角函数的和差化积和积化和差公式是我们在考研数学的复习过程中很容易忽略的一个知识点。
虽然大部分题目不使用和差化积和积化和差公式也能做出来，但掌握这些公式，对于开拓我们的解题思路，甚至在必要的时候用来“救急”都是很有必要的。
同时，在本文中，荒原之梦考研数学还会给大家提供一个原创的记忆这些公式的方法，帮助大家更高效的记忆和掌握这些公式。
继续阅读“用简化公式快速记住三角函数的和差化积与积化和差公式（荒原之梦考研数学原创）”